Nombres rationnels - démonstration

[Théophraste]

Bonjour,

Je vous saurais gré d'avoir l'amabilité de m'aider à resoudre un exercice suivant:

« Soit deux rationnels positifs a et b, tels que

\(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab}\) est aussi rationnel.

Montrer, q'alors \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\) sont rationnels. »

J'arrive à démontrer que si \(\sqrt{a}\) est rationnel, alors \(\sqrt{b}\) en est aussi:

Supposons, que \(\sqrt{a} \in \mathbb{Q}\). alors \(\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab})= a + \sqrt{ab}(1+\sqrt{a}) \in \mathbb{Q}\), d'où \(\sqrt{ab} \in \mathbb{Q}\) et finalement \(\sqrt{b} \in \mathbb{Q}\).
Arrivé ici, je pense qu'il faudrait effectuer un raisonnemet par l'absurde, mais là je bloque...

Merci d'avance pour votre aide,

Théophraste.

[SoS-Math(4)]

bonsoir , désolé je ne vois ps de solution immédiate.
J'espère que l'énoncé est exact.
Si une solution m'apparait je réécrirai un message.

bon courage

sosmaths

[Théophraste]

Bonsoir,
Merci de votre réponse. J'attends avec impatience ! .

Théophraste.