Ensemble de définition et symétrie

[Julia92]

Bonjour,
Voila j'ai un souci, je n'arrive pas à finir, pourtant ça me parait tout simple, mais je bloque...

Soit f la fonction définie par f(x)= x^3/(x^2-1)
1) Déterminer l'ensemble de définition Df maximal de f
2) Démontrer que f est une fonction impaire, et l'interpréter géométriquement.

Voila si quelqu'un pouvait m'aider, ça serait gentil. J'essayerais de me creuser la tête en attendant vos réponses et explications. Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Pour commencer, il faut sur ce forum, montrer que vous avez recherché une solution à l'exercice proposé en exposant ce que vous avez fait...
Je vais vous donner un petit coup de pouce pour démarrer ; cette fonction est définie pour toutes les valeurs de \(x\) qui n'annulent pas le dénominateur (quotient).

Bonne continuation.

[Julia92]

Pour le 1) j'ai complètement oublié comment faire mais pour 2) je sais qu'il faut démontrer f(-x) = -f(x); voila ce que j'ai fait:
f(-x)= -x^3/(x^2-1)=-f(x) donc la fonction est impaire et par conséquent, la courbe Cf est symétrique par rapport à l'origine O et elle admet une tangente d'équation T: y=x

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Effectivement ce que vous avez fait pour montrer que cette fonction est impair est juste, il faut juste déterminer l'ensemble de définition et voir s'il est symétrique par rapport à 0 pour pouvoir conclure sur le fait que la fonction est impair. L'interprétation géométrique est juste.
La conclusion sur l'asymptote est juste mais un peu rapide... Pour démontrer que cette droite est une asymptote, il faut calculer des limites...

Revenons à l'ensemble de définition : \(D=\mathbb R -\){\(x\in \mathbb R\), \(x^2-1=0}\)
Il faut juste résoudre cette équation et enlever les solutions à l'ensemble des réels.

Bonne continuation.

[Julia92]

Bonsoir,
Pour le 1) x²-1= (x-1)(x+1)=0 donc Df= IR-{-1;1}
Pour le 2) je me suis trompée, est -ce que c'est f(-x) = -f(x) ou f(-x) = -f(-x); mais après je vois pas comment faire?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

L'ensemble de définition est juste. Pour démontrer que la fonction est impair, il y a deux éléments à vérifier : \(f(-x)=-f(x)\) et l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

Bonne continuation.

[Julia92]

Donc j'ai eu bon pour la démonstration de la fonction impaire, mais faut-il démontrer que cette droite est une asymptote?Et comment? Je sais qu'il faut calculer une limite mais laquelle?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

La question est de savoir si cette asymptote t'est demandée ? Pour démontrer que la droite d'équation y=x est une asymptote à Cf au voisinage de \(+\infty\), il faut démontre que \(\lim_{x \to +\infty}{f(x)-x}=0\).

Bonne continuation.

[Julia92]

Bonjour,
Merci de vos explications, ça m'a beaucoup aidé mais pour la dernière partie je ne comprends pas comment faire?
1)Soit T Xo la tangente à Cf au point d'abscisse Xo. Déterminer son coefficient directeur .
2)Démontrer qu'il n'existe pas de tangente à Cf parallèle à l'asymptote d'équation y=x

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Rappel : Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x0 est f '(x0). ( théorème important du cours)

Donc tu dois calculer la dérivée de f . Ensuite tu remplaces x par x0.

sosmaths

[Julia92]

j'ai compris mais après je ne comprends pas!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julia,

si j'ai bien compris, tu as trouvé f '(x0).

Pour la question suivante :
Tx0 est parallèle à la droite d'équation y=x si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Donc il faut résoudre f '(x0) = 1. Et en principe tu ne vas pas trouver de solution ...

SoSMath.