SOS-MATH

Bonjour,

voici l'énoncé de mon exercice :

Soit ABC un triangle ( quelconque ) et G son centre de gravité. Soient I, J et K les milieux respectifs
des cotés [BC], [AC] et [AB]. Montrer que les triangles AJK, BKI, CIJ et IJK ont la même aire.

Je bloque complétement et ne sais par où commencer.. Pourriez vous m'aider ?

Je n'ai aucune idée de comment traiter l'exercice. Je compte sur vous ! :)

Merci d'avance.
Eloïse.

Bonjour,
Pour les triangle AKJ, d'après la réciproque thalès J milieu de [AC], K milieu de [AB], donc \(\frac{AK}{AB}=\frac{AJ}{AC}=\frac{1}{2}\) donc les points étant alignés dans le même ordre, on a (JK)//(BC). Donc on a d'après thalès toujours : AKJ est une réduction de facteur \(\frac{1}{2}\) de ABC.
Tu as vu en troisième que la réduction de facteur \(\frac{1}{2}\) sur les longueurs donnait une réduction de facteur\(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Donc \(\mathcal{A}_{AJK}=\frac{1}{4}\mathcal{A}_{ABC}\).
En recommençant la même démarche pour les deux autres triangles, tu obtiens que BKI, CIJ ont aussi une aire égale à 1/4 de celle de ABC : ils ont donc tous la même aire.
Pour IJK, c'est un peu plus difficile : tu sais que le centre de gravité est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.
Donc si tu considère l'homothétie h de centre G et de rapport \(\frac{-1}{2}\), tu as h(A)=I, h(B)=J, h(C)=K ( à prouver avec des relations vectorielles) donc h(ABC)=IJK donc le triangle IJK est une réduction de ABC de coefficient 1/2 : on conclut comme pour les autres triangles

Merci beaucoup, j'ai tout compris !

Votre aide m'a été précieuse. A bientôt.

Bon courage à toi.
Sos-math