produit scalaire

[Phoenicia]

bonjour,
ABCD carré de coté a et de centre O. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
\(\overrightarrow{AO}\).\(\overrightarrow{OI}\) est-ce que l'on peut prendre AOI et dire
\(\overrightarrow{AI}\).\(\overrightarrow{AO}\)=\(\overrightarrow{AI}\).\(\overrightarrow{AB}\) ou
\(\overrightarrow{OI}\).\(\overrightarrow{OA}\)?

[sos-math(22)]

Bonjour,
Pour taper un vecteur il faut maintenant utiliser \vec{AB} pour avoir \(\vec{AB}\).
Pour calculer par exemple \(\vec{AI} . \vec{AO}\), il suffit de remarquer que I est projeté orthogonal de O sur (AB).
On a donc \(\vec{AI} . \vec{AO}=AI^2\)
Ai-je répondu à ta question ?
Bonne continuation.

[Phoenicia]

en fait je voudrais savoir si est-ce que l'on peut prendre le triangle AOI et dire
\(\vec{AI}\).\(\vec{AO}\) = \(\vec{AI}\).\(\vec{AB}\) ou
\(\vec{OI}\). \(\vec{OA}\)?

[Phoenicia]

Par rapport à votre exemple:
en fait j'ai du mal à me repérer car I est le projeté orthogonal de O et de A, lequel je dois prendre ?

[sos-math(22)]

Bonsoir,

L'affirmation : "I est le projeté orthogonal de O et de A" n'a pas vraiment de sens.

En effet, on parle du projeté orthogonal d'un point sur une droite.

Ainsi, I est le projeté orthogonal de A sur la droite (OI).

Et par ailleurs, I est le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).

D'une manière générale, \(\vec{AC}.\vec{AB}=\vec{AH}.\vec{AB}\), où H désigne le projeté orthogonal de C sur (AB).

Soyez très rigoureux sur la définition du point H.

Je répète :

H désigne le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Ainsi, on ne projette pas H sur une autre droite que la droite (AB).

Bonne continuation.

[Phoenicia]

merci je ne comprends pas pourquoi \(\vec{AI}\). \(\vec{AO}\)=AI²?
Et pour
I est le projeté orthogonal de A sur la droite (OI). je dois écrire \(\vec{OI}\). \(\vec{OA}\)
I est le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). \(\vec{AI}\). \(\vec{AO}\)? pour \(\vec{AO}\).\(\vec{OI}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
On voit sur le dessin que ta droite (OI) est perpendiculaire à (AB) et que I est un point de (AB).
Donc I est le projeté orthogonal de O sur (AB) donc on a bien :\(\vec{AI}.\vec{AO}=\bar{AI}.\bar{AI}=AI^2\).
Si tu ne comprends pas cela, on peut revenir à une autre présentation : tu connais la formule qui donne \(\vec{AI}.\vec{AO}=AI.AO.\cos(\widehat{OAI})\)
Or Comme le triangle OAI est rectangle en I \(\cos(\widehat{OAI})=\frac{cote\,adjacent}{hypotenuse}=\frac{AI}{AO}\), ce qui fait qu'en remplaçant on a :
\(\vec{AI}.\vec{AO}=AI.AO.\cos(\widehat{OAI})=AI.AO.\frac{AI}{AO}=AI^2\)
Est-ce plus clair ?

[Phoenicia]

mais dans l'égalité \(\vec{AI}\) n'est pas égal à \(\vec{AO}\)?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
les vecteurs ne sont pas égaux mais le produit scalaire est bien égal à AI²
Bon courage pour continuer

[Phoenicia]

oui merci et est ce que c'est correct si on met \(\vec{AI}\)*\(\vec{AO}\)=\(\vec{AI}\)*\(\vec{AB}\)?

[sos-math(22)]

Bonjour,
Non cela ne serait pas correct ; car : \(\vec{AI}.\vec{AB}=AI \times AB\).
De plus, le projeté orthogonal du point O sur (AB) n'est pas le point B mais le point I.
Bonne continuation.