SOS-MATH

Bonsoir,

J'ai un exercice sur les suites (enfin un QCM) et il y a quelques questions ou j'aurais bien besoin de vos précisions s'il vous plaît...


L'énoncé ''Chaque question a une seule réponse exacte. U est la suite définie par U0 = 0 et pour tout entier n, Un+1 = Un + [1/(n+1)]

1. U4 est égal à

a/ 11/6
b/ 137/60
c/ 25/12
d/ 4

Je trouve la réponse c car U0 = 0, puis U1 = 1, puis U2 = 3/2, puis U3 = 11/6 et enfin U4 = 25/12



2. a/ u est décroissante
b/ u est arithmétique
c/ u converge vers 2
d/ u a pour limite +inf

Je trouve que ce n'est pas le b (car la différence Un+1 - Un = [1/(n+1)]
Pour le c je ne vois pas comment faire sans valeur... Tout comme la d...

Et pour la a, en faisant le quotient moins 1, je trouve 1/(n+1) donc pas décroissant...


3. v est la suite définie sur N par Vn = 1/(1 +Un)

a/ v est décroissante
b/ v est divergente
c/ v est géométrique
d/ v converge vers un réel l > 0

Je trouve que la suite v est géométrique car Vn+1 = Vn * (n+2) mais je ne pense pas que ce soit bon... (à cause des n)
Je ne vois pas comment faire pour le c et d...

Et je trouve aussi que la suite v est décroissante...


Merci de votre aide

Cordialement.

Bonsoir
Pour la 2, tu ne peux répondre que sur le sens de variation :
Etudie la différence \(U_{n+1}-U_n=\frac{1}{n+1}\), or \(\frac{1}{n+1}>0\) pour tout entier n, donc \(U_{n+1}-U_n>0\) donc \((U_n)\) est croissante.
pour la 3, fais la même chose : forme la différence \(V_{n+1}-V_n\) et mets les fractions au même dénominateur, réduis et tu auras au numérateur \(U_n-U_{n+1}\) donc ta suite V sera décroissante

Bonjour,

Je comprends pour le 3, j'ai trouvé que la suite v est décroissante.


Par contre, vous me confirmez pour la question 2...

Que puis-je répondre vu que la suite n'est pas décroissante ?

De plus, en faisant cette différence on voit bien que la suite n'est pas arithmétique.


Alors, comment deviner s'il s'agit de la réponse c ou d et quelle méthode ?

Merci & Cordialement

Bonjour,
Pour la 2, on va procéder par élimination.
Ta suite est croissante et on a calculé \(U_4=\frac{25}{12}>2\) donc pour tout \(n>4,\, U_n>U_4>2\) donc tous les éléments de la suite sont strictement supérieurs à 2 et ils s'en éloignent car la suite est strictement croissante donc la suite ne peut pas converger vers 2.
Ce ne sont pas des explications très rigoureuses mathématiquement parlant, mais c'est pour te convaincre...
Tu as vu qu'elle n'était pas arithmétique ni décroissante donc elle est forcément divergente vers \(+\infty\)