Flocons de Von Koch

[Invité]

Un exercice de synthèse (que je fais sans obligation) du chapitre sur les suites me pose quelques problèmes (et je ne peux pas demander de correction ou d'aide à mon professeur que je ne vois pas avant longtemps):

Une unité de longueur étant choisie on considère un triangle équilatéral C0 de côté 1.
A partir de C0, on construit un nouveau polygone de la façon suivante : on divise chaque côté de C0 en 3 segments de même longueur, on conserve les 2 extrêmes et on remplace le tiers central, à l'extérieur de C0, par les deux côtés d'un triangle équilatéral (dont ce tiers central serait le 3e coté). On appelle C1 ce nouveau polygone.
En procédant de même à partir de C1, on obtient une nouvelle figure C2, etc...

1)Cette question ne pose pas de problème, il s'agit de construire C0, C1, C2, C3 et C4

2)On note Ln le périmètre du polygone Cn, n étant un entier naturel.
Déterminer une relation entre 2 termes consécutifs de la suite (Ln), puis calculer l'expression de Ln en fonction de n.
Préciser la limite de la suite (Ln)
-> J'ai trouvé \(\l_{n+1}=\frac{4}{3}*\l_{n}\) car à chaque figure on retire \(\frac{1}{3}\) de chacun de ses côtés mais on rajoute ensuite \(\frac{2}{3}\).

Donc \(\l_{n}=l_{0}*\left(\frac{4}{3}\right)^n=3*\left(\frac{4}{3}\right)^n\)

\(\lim_{n\to+\infty}(3)=3\) et \(\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^n=+\infty\) donc \(\lim_{n\to+\infty}(\l_{n})=+\infty\)

3)Soit un réel \(x\geq0\). Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de longueur de côté x.
-> \(A=\frac{Base*Hauteur}{2}\)
Or dans un triangle équilatéral de côté x, \(x²=H²+\left(\frac{x}{2}\right)²\) d'où \(H=\frac{x\sqrt{3}}{2}\)

Et donc \(A=\frac{x²\sqrt{3}}{4}\)
4)Voilà la question qui me pose de réels problèmes(si je ne me suis pas déjà trompé dans les questions précédentes).
On note An l'aire de la surface délimitée par Cn.
Déterminer une relation entre 2 termes consécutifs de la suite (An), puis calculer l'expression de An en fonction de n.
Préciser la limite de la suite (An).

-> J'ai d'abord étudié le nombre de triangles qui sont créés à chaque opération:
Le nombre de côtés de Cn en fonction de n est \(3*4^{n}\) c'est une suite géométrique car "sur" chaque côté d'une figure seront créés 4 autres côtés, de plus on part d'une figure à 3 côtés et on répète l'opération n fois.

Ensuite le nombre de triangles créés à chaque opération est égal au nombre de côtés de la figure précédente : \(t=3*4^{n-1}\)

J'ai vérifié l'exactitude de mes formules sur les figures construites, tout parait bon(au moins pour les 4 premières figures).

Et donc \(A_{n+1}=A_{n}+3*4^{n}*\frac{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1 }*1\right)^{2}\sqrt{3}}{4}\)

\(A_{n}\) est l'aire du polygone précédent à laquelle on ajoute :
\(3*4^{n}\) le nombre de nouveaux triangles multiplié par \(\frac{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1 }*1\right)^{2}\sqrt{3}}{4}\) l'aire de ces triangles où \({\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1 }*1\right)\) est le côté des triangles ( ce côté est égal à \(\frac{1}{3}\) du côté du précédent polygone d'où la suite géométrique \(c_{0}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\).

Je simplifie le résultat :
\(A_{n+1}=A_{n}+3*4^{n}*\frac{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1 }*1\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=A_{n}+\frac{4^{n-1}\sqrt{3}}{3^{2n+1}}\)

Il me faut maintenant calculer An en fonction de n et c'est ici que ça bloque complètement.

J'ai essayé d'être le plus clair possible même si je ne suis pas sûr d'y être arrivé.
Merci pour le temps que vous aurez passé à lire mon message.
Quentin

[SoS-Math(10)]

bonjour,
On a une suite du type An+1 = An + Un
donc An = An-1 +Un-1 = A n-2 +et il existe une formule donnant la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique;

bon courage
sos math

[Guillaume]

Bonjour,

je suis en premiere S-SVT et je dois faire un dm pour le mardi de la rentrée sur les fractales . je coince totalement j'ai les figures mais j 'ai du mal pour trouver l'aire
Voici l'exercice en question:
la méthode utilisée est la suivante:on doit disposer d'un segment ,on le coupe en trois et on remplace le segment du milieu par deux cotés d'un triangle équilatéral. et bien sûr on recommence encore et encore
Or on part des trois cotés d'un triangle équilatéral et on lui applique 4 fois la méthode décrite ci-dessus.
j'ai obtenu la figure mais je n'arrive pas a exprimer en fonction de a l aire et le périmetre de la figure (sachant que a= cote du triangle équilatéral de départ)

mercii beaucoup et j'espere obtenir une réponse trés rapidement
mercii

[SoS-Math(11)]

Bonjour Guillaume,

Commence par exprimer l'aire du premier triangle en fonction de a. Pour cela il faut exprimer la hauteur en fonction de a puis appliquer la formule : \(aire=\frac{{base}\times{hauteur}}{2}\).
Ensuite pense que lorsque tu coupe le côté en trois, l'aire est divisée par neuf, déduis-en l'aire d'un petit triangle ajouté, puis celles des trois puis l'aire totale et exprime cette aire en fonction de celle de départ et vérifie que de proche en proche c'est la même formule qui s'applique.
Pour le périmètre, compte combien tu as de petits côtés égaux au tiers de celui de départ et déduis-en le nouveau périmètre, exprime ce nouveau périmètre en fonction de celui de départ.
Tu dois alors avoir une suite arithmétique et une suite géométrique dont le premier terme est connu et les raisons trouvées lors de la première transformation.
Essaie de bien faire le premier passage, tout le reste en dépend.
Bon courage