SOS-MATH

Bonjour,

Je ne peux pas progresser dans mon DM car je suis bloquée dès la première question :
Soit la fonction f(x) = (2x²-x+1)/(x-1) pour x différent de 1 et C sa courbe.
>Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout x différent de 1, f(x) = ax+b+[c/(x-1)]

Je ne sais pas quelle démarche adopter afin que (2x²-x+1)/(x-1) soit transcrit sous la forme ax+b+[c/(x-1)].

Pouvez-vous me mettre sur la piste? Merci d'avance!!
Caroline

Bonsoir,
Il faut que tu partes de l'expression \(ax+b+\frac{c}{x-1}\), tu mets tout au même dénominateur, tu regroupes et tu compares avec l'expression de départ \(\frac{2x^2-x+1}{x-1}\) : les nombres a,b,c doivent vérifier certaines conditions quand on regarde les coefficients en \(x^2\), en \(x\) et les termes constants.
fais cela

Merci, mais je n'arrive justement pas à mettre ax+b au même dénominateur que c, c'est à dire x-1 : comment passer du dénominateur 1 au dénominateur x-1?

Bonjour,
et si tu faisais \(\frac{ax+b}{1}=\frac{(ax+b)\times(x-1)}{1\times(x-1)}=\frac{(ax+b)(x-1)}{x-1}\), tu développes et tu additionnes avec l'autre fraction.

Merci!
Donc je trouve (ax²-ax+bx-b+c)/(x-1).
Maintenant, faut-il que je factorise le numérateur par x?

Bon, c'est cela : tu as donc \(\frac{ax^2-ax+bx-b+c}{x-1}=\frac{2x^2-x-1}{x-1}\), on arrange un peu cela
\(\frac{\overbrace{a}^{en\,x^2}x^2+\overbrace{(b-a)}^{en\,x}x+\overbrace{(-b+c)}^{en\,constante}}{x-1}=\frac{\overbrace{2}^{en\,x^2}x^2+\overbrace{-1}^{en\,x}x\overbrace{-1}^{en\,constante}}{x-1}\) et on fait ce qu'on appelle une identification :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}a&=&2\\b-a&=&-1\\-b+c&=&-1\end{array}\right.\)
Je te laisse trouver a,b, et c.

D'accord, donc :
a=2
comme b-a=-1, b=1
et comme -b+c=1 , c=2

Merci beaucoup pour votre aide!!^^

Oui, c'est cela !
Très bien, continue.