SOS-MATH

Bonjour,

j'ai trouvé cet énoncé dans un recueil d'exercices de 1èreS portant sur l'emploi du produit scalaire :

"Soit ABCD un parallélogramme et M un point quelconque du plan. Démontrer que : MD² - MC² = MA² - MB²."

Avant de chercher à prouver ce résultat, j'ai remarqué qu'il pouvait exister un contre-exemple : si M appartient à la médiatrice de AB, on a alors MA² - MB² = 0 puisque les distances MA et MB sont égales dans ce cas-là ; mais comme M ne peut être simultanément sur la médiatrice de CD, côté opposé à AB dans le parallélogramme ABCD, MD² - MC² est différent de 0.
J'ai donc 2 questions : mon contre-exemple vous parait-il correct sinon pourquoi et pouvez-vous m'indiquer une piste de départ permettant de prouver ce résultat ? (Je n'ai pas abouti en utilisant une relation bien connue du type MA² - MB² = 2MI.BA (produit scalaire) où I est le milieu de AB)
Je vous remercie d'avance pour votre réponse.

Jean Mermillon

Bonjour Jean

voici une piste de travail :
tu as vu que MA² - MB² = 2MI.BA (produit scalaire) où I est le milieu de AB
De la même façon MD² - MC² = 2MJ.CD (produit scalaire) où J est le milieu de CD
Donc tu peux en déduire que les deux produits scalaires ci-dessous sont égaux :
2MI.BA =2MJ.CD
et donc que le produit scalaire JI.BA = 0 (je te laisse le faire)
Donc il faut que les côtés AB et CD soient perpendiculaires à IJ ; donc il faut que ABCD soit un ...

Bon courage

Bonjour,

merci pour la réponse, mais on veut justement démontrer que MA² - MB² = MD² - MC² ; si on le prend comme hypothèse alors on ne démontre rien.
Merci de me répondre car là il n'y a quelque chose que je ne comprends pas dans le raisonnement.

Jean

Bonjour Jean

C'est bien d'avoir vu que je t'aidais à démontrer la "réciproque" de ce qui t'était demandé. Et je l'avais fait à dessein (j'avais dit "voici une piste de travail").

Mais ce n'est pas difficile de démontrer le vrai théorème :
"si ABCD est un ... alors l'égalité MD² - MC² = MA² - MB² est vraie".

Il suffit pour cela, de refaire les calculs vectoriels dans "l'autre sens" et de bien noter toutes les conditions nécessaires pour qu'il soit vrai (à l'évidence, il ne suffit pas que ABCD soit un parallélogramme).

Bon courage.