SOS-MATH

Sn = 0²+1²+2²+…+n²

III)
Soit P définie par P(x) = ax³+bx²+cx+d une fonction polynôme à coefficients réels de degré inferieur ou égal à 3
1) Développer l'écriture de P(x+1) puis écrire P(x+1)-P(x) en regroupant les termes suivant les puissances de x
2) Montrer qu'il existe des réels a, b, c, d que l'on déterminera tels que pour tout réel x on ait P(x+1)-P(x) = x² et P(1) = 0
3) n'En déduire que Sn = P (n+1) pour tout entier naturel n
4) Factoriser P(x+1). (Indication factorisation d'un trinôme) En déduire, pour tout n une expression de Sn sous forme d'un produit de trois facteurs.

IV)
1) Adapter les questions 1)2)3) du III pour calculer Un = 0³+1³+2³+…+n³
2) Donner l'expression, pour tout n de Vn = 0+1+2+…. +n.
3) pour n = 0, 1, 2, 3,4 calculer Un et Vn.
4) Conjecturer un lien entre les deux suites et le prouver. En déduire une écriture factorisée des termes de (Un).

Les questions 1,2 de la partie III je les suis fait je pence pouvoir faire la question 3 de la partie IV
Merci de toute aide qui me sera proposé merci d'avance

Bonsoir Mousha,

Une aide pour la question 3 du III :
pense que \(P(n+1) = P(n+1)-P(n)+P(n)-P(n-1)+P(n-1)-P(n-2)+P(n-2)-....+P(2)-P(1)\) en groupant les termes 2 par 2 et en utilisant \(P(n+1)-P(n)=n^2\) conclus.

Pour factoriser \(P(n+1)\) : réduis au même dénominateur, comme \(d = 0\) , mets \(\frac{n+1}{6}\) en facteur puis développe et réduis le facteur restant, tu pourras alors mettre \(n\) en facteur et conclure.

Pour la question 4 essaie de refaire les mêmes questions avec un polynôme \(P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) en imposant comme contrainte \(P(x+1)-p(x)=x^3\) et \(P(1)=0\).
Pense que \(0+1+2+3+4....+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

Bon courage