SOS-MATH

Bonsoir, excusez moi de vous déranger, mais j'ai un petit soucis avec mon exercice dont voici l'anoncé:
On considère un triangle ABC non aplati
1. Démontrer que , pour tout point M du plan : MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 (il s'agit de vecteurs) ,
2. On désigne par A', B' et C' les pieds respectifs des hauteurs issues de A, B et C . Montrer que les droites (AA') et (BB') sont concourantes.
3°Soit H le point d'intersection de (AA') et (BB'). En utilisant la première question, montrer que H appartient à (CC').

Voici mes résultats:
1.=MA.BC+(MA+AB).CA+(MA+AC).AB
=MA.BC+MA.CA+AB.CA+AB.MA+AB.AC
=MA.(BC+CA+AB)+AB.(CA+AC)
=MA.0+AB.0
=0

2.(AA') perpendiculaire à (BC) (AA' étant l'hauteur issue de A)
(BB') perpendiculaire à (AC) (BB' étant l'hauteur issue de B)
si (AA') est parallèle à (BB') alors, (BC) sera parallèle à (AC)
or (AC) et (BC) sont sécantes en C. Mais j'ai du mal a savoir comment je peux le justifier.

3. Je n'ai rien trouvé

Mes résultats sont-ils juste? Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
Ton premier calcul est correct.
Ensuite pour la deuxième justification, cela me semble acceptable :
(AA') perpendiculaire à (BC);
(BB') perpendiculaire à (AC);
si (AA')//(BB'), alors si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaires à l'une est perpendiculaire à l'autre donc par exemple (BC) perpendiculaire à (BB').
Donc (BC) et (AC) sont perpendiculaires à une même droite (BB') donc elles sont parallèles, ce qui impossible car ces deux droites sont sécantes en C et non confondues (triangle non aplati).
(il faut quand même rajouter que (AC) et (BC) ne sont pas confondues (car le triangle est non aplati), car avoir un point commun n'empêche pas des droites d'être parallèles : le cas des droites confondues).
Pour le dernier, appelle H le point d'intersection des (AA') et (BB'), et applique la relation au point H :
\(\vec{HA}.\vec{BC}+\vec{HB}.\vec{CA}+\vec{HC}.\vec{AB}=0\) Comme H est sur (AA') et sur (BB'), hauteurs relatives à (BC) et (AC), il reste :
\(\underbrace{\vec{HA}.\vec{BC}}_{=0}+\underbrace{\vec{HB}.\vec{CA}}_{=0}+\vec{HC}.\vec{AB}=0\),
soit \(\vec{HC}.\vec{AB}=0\) donc (HC) est perpendiculaire à (AB) donc il appartient à la perpendiculaire à (AB) passant par C, c'est-à-dire (CC').