SOS-MATH

Bonjour j'aimerais savoir comment prouver qu'un barycentre est dans un triangle et pas à l'extérieur.
Merci d'avance.

Bonjour Marc,

Je pense qu'il faut d'abord calculer le barycentre de 2 sommets. Si ces 2 sommets sont pondérés par 2 nombres de même signes, alors le barycentre de ces deux sommets est sur le côté du triangle qui joint ces 2 sommets. Ensuite faire intervenir le 3 ème sommet avec le barycentre partiel obtenu et voir s'ils sont pondérés par deux nombres de mêmes signes auquel cas le barycentre est sur le segment correspondant , donc à l'intérieur du triangle.

sosmaths

Bonjour et merci ,
je vous met mon énoncé complet et mes réponses:
1°) Sur Geogebra :
a) Placer les points A (– 3 ; 0), B (0 ; 5) et C (2 ; 4) ; ne plus afficher les axes, ni le quadrillage. Définir trois curseur a, b et c d’intervalle [– 5 ; 5] et d’incrément 0,1. Tracer (AB), (BC) et (AC) (ne pas afficher leur étiquette). Définir S = a + b + c et G, le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) (pour ceci, saisir « G = (a*A + b*B + c*C)/S» (cette notation est prohibée hors de Geogebra qui l’adopte par analogie avec : vecteur OG = (a*vecteur OA + b*vecteur OB + c*vecteur OC)/(a+b+c) ) Désolé pour les vecteurs je n'ai pas réussi à les faire sous TeX

Définir de même G1, G2 et G3 les barycentres respectifs de (A, a) et (B, b), de (B, b) et (C, c), et de (A, a) et (C, c).

b) Faire varier a et b. En déduire les conjectures qui donnent les conditions sur a et b pour que :
alpha) G1 décrive la droite (AB) ;
beta) G1 décrive le segment [AB].

c) Faire varier a, b et b. En déduire les conjectures qui donnent les conditions sur a, b et c pour que :
alpha) G décrive le plan (ABC) ;
beta) G décrive l’intérieur du triangle ABC.

d) Définir qa = a/S (qa s’obtient par « q_a »), qb = b/S et qc = c/S. En faisant varier a, b et c, conjecturer la position de G par rapport aux régions du plan définies par les droites (AB), (BC) et (AC) suivant les valeurs de qa, qb et qc.
e) Imprimer l’écran (avec « Print Screen » par exemple et en noir & blanc (niveaux de gris, cartouche noire pour éviter d’user les cartouches couleur !))
*
2°) Prouver les conjectures du 1°) b), c) et d) pour ce dernier cas, on se contentera d’une seule région du plan définie par (AB), (AC) et (BC), qui ne soit pas l’intérieur de ABC.

Voici ce que je propose:
1b)alpha) Il faut que a soit différent de -b (ou b différent de -a)
1b)béta) Il faut que a et b aient le même signe

1c)alpha) Il faut que S soit différent de 0
1c) béta) et faut que a,b et c soient de même signe.

1d)Lorsque q_a < 0 , le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) du côté de l'angle BAC sauf la région ABC ;
- Lorsque q_b et q_c < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) du côté opposé à l'angle BAC ;
- Lorsque q_b < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (BA) et (BC) du côté de l'angle ABC sauf la région ABC ;
- Lorsque q_a et q_b < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (BA) et (BC) du côté opposé à l'angle ABC ;
- Lorsque q_c < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (CA) et (CB) du côté de l'anglais BAC sauf la région ACB ;
- Lorsque q_b et q_a < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (CA) et (CB) du côté opposé à l'angle ACB.

2) Preuves (je ne suis pas trop sur de moi)
1b) alpha) G1 est barycentre de (A,a) et (B,b) donc s'il existe a+b différent de 0
soit a différent de -b.

1b) béta) G1 est sur [AB] <-> GA(vecteur) et GB (vecteur) sont de sens contraires.
soit a GA(vecteur) - b GB(vecteur) =0 (vecteur)
soit a GA (vecteur) = b GB (vecteur) donc a et b ont le même signe

1c) alpha) G appartient à (ABC) <-> a GA(vecteur) + b GB(vecteur) +c GC(vecteur) = 0 (vecteur)
Or G est barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c) donc a+b+c différent de 0
1c) béta) G1 est barycentre de [AB] donc a et b ont le même signe mais après je ne vois pas du tout.

Pensez vous que mes conjectures et mes preuves sont justes?
Concernant les deux dernières preuves pouvez vous m'aider.
Merci d'avance.

oui, c'est bien ce que tu as fait, mais au niveau des preuves ça laisse à désirer.


1)b)beta)
on suppose a et b de même signe.

G barycentre équivaut à :
a.vec(GA)+b.vec(GB)=vec(0)
équivaut à
vec(GA)=(-b/a)vec(GB) or(-b/a)<0
Donc vec(GA) et vec(GB) de sens contraires, donc G est sur [A,B]

Réciproquement : on suppose G sur [AB]. Alors vec(GA) et vec(GB) de sens contraires, donc il existe un réel k négatif, tel que vec(GA)=k.vec(GB)
donc vec(GA)-kvec(GB)=vec(0) donc G barycentre de {(A,1);(B,-k)} et les coefficients 1 et -k sont de même signe.

Pour 3 points il faut utiliser le théorème du barycentre partiel, ( théorème d'associativité) et le résultat que l'on vient de montrer concernant 2 points.
sosmaths

Merci bien,
Sinon voici ce que je propose pour la 1)c) béta)
G1 est barycentre de (A,a) et (B,b). G1 est sur [AB] si a et b sont de même signe.
G2 est barycentre de (B,b) et (C,c). G2 est sur [CB] si c et b sont de même signe.
G3 est barycentre de (A,a) et (C,c). G3 est sur [AC] si a et c sont de même signe.
Or G est barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c).
Donc par associativité G est barycentre de (G1,a+b), (G2,b+c) et (G3, c+a).
Or G1 est sur [AB], G2 sur [BC] et G3 sur [AC] donc G est dans le triangle ABC.
Est-ce assez rigoureux selon vous?
Pensez vous que les preuves du 1b)alpha) et celle du 1c) alpha) sont assez complètes selon vous?

Donc ce n'est pas assez rigoureux , tu déplaces le problème.

Tu veux prouver un résultat sur un triangle ABC, et tu aboutis à un triangle G1G2G3. Ou est la différence ?

Dis plutot : G1 est sur [AB] donc G bar{(G1, a+b) (C,c)} donc d'après le résultat précédent si c a le même signe que a+b alors G est sur [G1,C] donc dans le triangle ABC.

sosmaths

A d'accord j'ai compris. Cependant pour être très rigoureux dois-je le faire avec G2 ou G3 par exemple ou seul ce que vous avez fait suffit?
Je pense que c'est suffisant.
Concernant la question d) je ne comprend pas trop comment procéder pour prouver que G est entre 2 droites.
Merci d'avance te bonne soirée. Grace à vous ce dm est quasiment terminé.

la, je ne l'ai pas fait, mais je pense que s'il est entre deux droites, c'est qu'il est à l'intérieur d'un triangle, dont les côtés sont contenus dans ces droites.
C'est une idée, je ne sais pas si elle aboutit.

sosmaths

Bonsoir,
Non en fait, il est entre deux droites mais à l'extérieur du triangle ABC d'où mon problème. De plus notre professeur nous a dit de ne pas utiliser les coordonnées donc je suis quelque peu perdu...

Bonne soirée

Bonjour Marc,

Sans les coordonnées, ton problème semble difficile à résoudre ...
Je vais chercher pour trouver une solution (sans garantie !).

SoSMath.