SOS-MATH

Bonjour je suis en 1ere et j'ai un DM a rendre sur les dérivés mais je n'arrive pas plusieurs questions mêmes apres plusieurs tentatives... Pouvez vous m'aider ?

Voici l'énoncé :
C est le cercle trigonométrique de centre O et M est le point de C tel que (vecteur OI ; vecteur OM) = x (rad) avec x appartient ] 0 ; TT/2 [ .
T est le point d'intersection de la droite (OM) avec la tangente en I à C.

Les aires du triangle OIM et OIT encadrent l'aire du secteur circulaire OIM.

a) Que vaut l'aire du secteur circulaire OIM.
J'ai trouve x/2 c'est bon
b) A l'aide du théorème de Thalès vérifier que : IT = sin (x) / cos (x)
C'est fait
c) Démontrer successivement que, pour tout x appartient ] 0 ; TT/2 [ :

(1) 1/2 * sin (x) < x/2 < 1/2 * (sin (x) / cos (x))
La j'ai utilisé l'énoncé avec Aire OIM<A secteur OIM<Aire OIT

(2) 1 < ( x / sin (x) ) < 1/ cos (x)
je ne suis pas sure que ce soit vrai j'ai juste dit qu'il falait multiplier l'encadrement par 2 et diviser le tt par sinx est ce suffisant ?
(3) cos (x) < sin (x) / x < 1
J'ai dit que c'tait l'inverse du (2) et je n'en suis pas sure

d) Démontrer que l'encadrement (3) est aussi vrai pour tout x appartient ] -TT/2 ; 0 [
Je n'ai pas réussi cette question ...

e) En déduire que lim x tend vers 0 sin (x) / x = 1
Je pense que cette question va avec la d donc ...


Merci
Gaby

Bonsoir,
diviser par \(\sin(x)\) est valable à condition de rappeler que \(x\in]0;\frac{\pi}{2}[\), ce qui signifie que \(\sin(x)>0\), donc qu'on peut diviser sans changer le sens et sans tomber dans une opération "interdite" (division par 0).
Inverser un encadrement est valable lorsque cet encadrement est dans \(\mathbb{R}_+^*\) (ou \(\mathbb{R}_-^*\), l'important, c'est d'être sur un intervalle où la fonction inverse \(x\mapsto\frac{1}{x}\) est définie et a un seul sens de variation (décroissant toujours pour l'inverse))
Pour montrer que cet encadrement est vrai sur \(]-\frac{\pi}{2};0[\), on considère \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors \({-}x\in]0;\frac{\pi}{2}[\) donc on peut appliquer l'encadrement précédent mais avec \({-}x\) !
\(\cos (-x) < \frac{\sin(-x)}{{-}x} < 1\) et sachant que \(\cos(-x)=\cos(x)\) et \(\sin(-x)=-\sin(x)\), les signes - se simplifient dans le quotient et tout est identique au premier encadrement mais avec \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\).
Terminé ! pour la limite, place-toi en \(0^{-}\), puis en \(0^{+}\) pour avoir \(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\)

Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai bien compris le b et le d

Pourriez vous seulement reformuler le e je n'ai pas bien compris

Merci d'avance

Gaby

Finalement je pense avoir compris pour le e) faut il dire que selon l'encadrement (3)
on a cos(x)<ou= (sin(x))/(x)< ou = 1
Or lors que x tend vers 0 on a cos(0)=1 pour x appartient ]0;Pi/2[
On a alors 1< ou = (sin(x))/(x) < ou = 1

On peut dire alors que lim x->0 (sin(x))/(x)=1

Est ce cela ou me suis-je tromper ? Merci

C'est un peu plus précis que cela :
\(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors on a l'encadrement :
\(\cos (x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1\)
donc en passant à la limite quand \(x\to0,x<0\), sachant que \(\lim_{x\to0,x<0}\cos(x)=1\), on a par le théorème des gendarmes (ou d'encadrement),
\(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=1\).
La démarche est la même pour obtenir : \(\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\),
la limite à gauche étant égale à la limite à droite, la limite en 0 existe et vaut 1.

Qu'est ce que le théorème des gendarmes ?

Tu ne connais pas cela , le théorème d'encadrement ?
si on a trois fonctions f,g,h définies sur un intervalle ]a,b[ telles que \(g(x)\leq\,f(x)\leq\,h(x)\) pour tout x de ]a,b[
Pour un nombre c dans ]a,b[, si on a \(\lim_{x\to\,c}g(x)=\lim_{x\to\,c}h(x)=d\), alors \(\lim_{x\to\,c}f(x)=d\), f est coincé entre deux gendarmes donc f n'a pas d'autres choix que de suivre g et h vers la même limite.
C'est ça le théorème des gendarmes.

Non je n'ai jamais appris ce théorème ... Merci de me l'avoir appris

Si je ne l'ai jamais fait est ce la solution attendu par mon professeur ou y a t'il un autre moyen ?

Je pense que c'est la solution attendue, même si le théorème des gendarmes n'est pas connu.
Bon courage

D'accord merci beaucoup pour votre aide, cela m'a beaucoup aidée !

Gaby

A bientôt sur SOS-math Gaby.