DM Baryccentre

[juju]

Bonjour, je bloque sur un exercice pour un DM, j'ai fais la question 1 et 2 mais la 3, est indépendante des autres :
ABC, un triangle du plan
D un point quelconque du plan
O milieu [CD], K milieu [OA]
a) exprimer K comme barycentre de A,a D,d C,c. a,d,c à préciser
Je trouve K= bar [(A,2);(D,1);(C,1)]

Je bloque à la question b)

b)Soit X intersection (DK) et (AC)
Déterminer a' et c' tels que X soit le barycentre de (A,a') (C,c')

Merci beaucoup de votre aide.

[sos-math(20)]

Bonjour,

Une petite chose avant de revenir sur votre exercice : nous préférons que les élèves qui posent des questions sur le forum n'utilisent pas de pseudo; cela rend ainsi les relations plus conviviales. Merci d'y penser la prochaine fois.

Revenons à votre exercice : le résultat que vous avez trouvé à la question a) est correct.
Pour la question b), il s'agit d'utiliser la propriété d'associativité du barycentre :

vous savez que le point K est barycentre de {(C,1);(D,1);(A,2)}. Ainsi, en regroupant les points C et D, vous pouvez aussi affirmer que le point K est barycentre de {(O,2);(A,2} puisque le point O est barycentre de {(C,1);(D,1)}. En fait vous connaissez déjà ce résultat d'après la question a). Maintenant, si, en repartant du point K, vous regroupez les points A et C au lieu des points C et D, vous obtiendrez le résultat souhaité.

Bon courage.

SOS-math

[julien]

Donc si j'ai compris, K est le barycentre de (X,3)(D,1)
donc X barycentre de (A,2)(C,1) ?
Mais aussi, quand je fais la figure, X est à l'extérieur du segment [AC] et dans mon cours il est écrit que si les 2 points ont des coefficients égaux, le barycentre de ces 2 points est à l'intérieur du segment.

Je me suis trompé alors... mais où ?
Merci de votre aide.

[sos-math(20)]

Bonsoir Julien,

K est barycentre de {(C,1);(D,1);(A,2)}; il est donc intérieur au triangle ADC. Par conséquent la droite (DK) coupera la droite (AC) nécessairement en un point du segment [AC]. Essayez de me scanner votre figure pour que je puisse la corriger si nécessaire.

A plus tard sans doute.

SOS-math

[Julien]

Bonsoir,
Effectivement, j'ai refait ma figure,je ne sais pas où j'avais la tête...
Cependant, je me pose une question : Je ne vois pas vraiment comment on arrive a prouver que X est le barycentre de A,2 C,1
Je sais que vu que X est l'intersection de deux droites, il est le barycentre de A et C ; et de D et K
Sur la nouvelle figure X est à l'extérieur de [DK], donc les coefficients de D et K devraient être de signes opposés. Or on a vu que K a un coefficient de 4 et D de 1. X devrait donc être à l'intérieur du segment.

On demande aussi des coefficients a' et c' pour A et C, mais dans ce cas, il s'agit des mêmes, donc pourquoi ce " ' " ?

Je vous remercie d'avance pour votre explication, car là je suis perdu

[sos-math(20)]

Bonsoir Julien,

Puisque K est barycentre de {(C,1);(D,1);(A,2)}, par associativité du barycentre on peut aussi affirmer que K est barycentre de {(L,3);(D,1)} où L est le barycentre de {(C,1);(A,2)}. (J'ai choisi la notation L arbitrairement)

Puisque K est barycentre de {(L,3);(D,1)} alors on sait que L est sur la droite (DK), et puisque L est le barycentre de
{(C,1);(A,2)} alors on peut affirmer que le point L est sur la droite (AC) : finalement le point L que j'ai considéré au départ n'est autre que le point X de l'énoncé puisque c'est le point d'intersection des droites (DK) et (AC).
On peut donc bien conclure que le point X est le barycentre de {(C,1);(A,2)}.

Par ailleurs, K est le barycentre de {(X,3);(D,1)} est équivalent à X est le barycentre de {(K,4);(D,-1)} (il faut par exemple faire une figure ou refaire les calculs vectoriels pour le vérifier) : le point X sera donc bien placé à l'extérieur du segment [DK].

Bonne fin de soirée.

SOS-math

[Julien]

Bonsoir,
Je vous remercie beaucoup, j'ai tout compris
Les coefficients de A et C reste inchangés, donc en fait le ' ne servait à rien dans l'énoncé. Il servaient juste à ne pas donné la réponse.

Je vous souhaite une bonne fin de soirée ! Merci encore !

[sos-math(20)]

Bonne fin de soirée à vous aussi et à bientôt sur SOS-math.