SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour la rentrée et je ne suis pas sur de mes résultats. Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plait ?

Énoncé:
Vrai ou faux.
On donne les points A (-3;1) B(3;4) C (17;-32) et M(3;-7)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez vos réponses.
1. M appartient au cercle de centre A et de rayon 10.
2. Le triangle MAB est isocèle.
3. Le point C appartient à la médiatrice de [AB].

Résolutions:
1. Soit A(-3;1) et R=10 et C=cercle
equation caryhésienne de C(A;10)
Soit M(x;y) MC(A;10)AM=10AM²=10²=100
Or AM²=(xM+xA)+(yM+yA)
donc AM²=(x+(-3))²+(y+1)²
Puis M (x;y) C(A;10)(x-3)²+(y+1)²=100x²-6x+9+y²+2y+1=100x²+y²-6x+2y+10=100
Donc C(A;10): x²+y²-6x+2y+10=100
Soit M (3;-7)
Compte teue de l'équation du cercle C on calcule:
xM²+yM²-6xM+2yM+10 = 3²+(-7)²-6 x 3+2 x (-7)+ 10 = 36
On a xM²+yM²-6xM+2yM+10 = 36 donc M n'est pas un point du cercle C car 36100.

2. Soient A (-3;1) B(3;4) et M (3;-7)
On calcule AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²
=(3-(-3))²+(4-1)²
=45
puis AB>0 donc AB=45

AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²
=(3-(-3))²+(-7-1)²
=100
puis AM>0 donc AM=100

BM²=(xM-xB)²+(yM-yB)²
=(3-3)²+(-7+4)²
=9
puis BM>0 donc BM=9

On a AB²AM²BM² or pour qu'un triangle soit isocèle il faut que deux de ses cotés soient de la même longueur. Donc MAB n'est pas un triangle isocèle.


3. Soient A(-3;1) et B(3;4) et M(x;y)
On calcule AM²=(xM-xA)²+(yM+yA)²
=x²+6x+9+y²-2y+1
=x²+y²+6x-2y+10

BM²=(xM-xB)²+(yM-yB)²
=(x-3)²+(y-4)²
=x²-6x+9+y²-8y+16
=x²+y²-6x-8y+25
En utilisant la propriété caractéristique M(x;y)dAM²=BM²
x²+y²+6x-2y+10=x²+y²-6x-8y+25
12x+6y+15=0
Conclusion: d:y=12x+6y+15=0
Pour la suite j'hésite entre xC=xA+xB/2 et yC=yA+yB/2
=0 =5/2
Puis on calcule 12xC+6yC+15=12 x 0 +- x 5/2+15=30
OU soit C(17;-32) donc 12xC+6yC+15=12 x 7 +6 x (-32)+15=204-192+15=27
Dans ces deux cas le point C n'appartient pas à la médiatrice de [AB].

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour :
toutes tes questions se résolvent avec un calcul de distance dans un repère : \(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\) ou \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Et je n'utilise que cette formule :
- pour la 1, on calcule MA, et on trouve bien 10 donc c'est vrai (calcul à reprendre), ne t'embête pas avec l'équation d'un cercle : M appartient au cercle de centre A et de rayon 10 si et seulement si MA=10.
- pour la 2, avec la même formule : \(MA^2=100\), \(MB^2=121\), \(AB^2=45\) donc le triangle n'est pas isocèle.
- pour la 3 être sur la médiatrice d'un segment signifie être à égale distance des extrémités de ce segment donc on calcule CA et CB : je trouve toujours avec la même formule \(CA^2=1489\) et \(CB^2=1492\), donc le point C n'est pas à égale distance donc il n'est pas sur la médiatrice de [AB].
Compare mes méthodes et les tiennes et dis-moi ce que tu en penses.

Bonjour,
Merci pour votre rapide réponse. J'ai essayé de répondre aux questions avec cette formule. Voilà ce que ca a donné.
Pour le 1 j'ai trouvé que c'est Vrai car:
Soient A(-3;1) et M(3;-7)
AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²
=(3-(-3))²+(-7-1)²
=100
AM>0 donc AM=r100
AM=10

Pour le 2 le calcul de BM² était faux, je l'ai donc repris:
BM²=(xM-xB)²+(yM-yB)²
=(3-3)²+(-7-4)²
=121
On a AB²differentAM²differentBM² or pour qu'un triangle soit isocèle il faut que deux de ses cotés soient de la même longueur. Donc MAB n'est pas un triangle isocèle.

Pour le 3:
Pour que le point C appartienne à la médiatrice de [AB], il faut qu'il soit à égale distance des extrémités de ce segment.
Calcul de la distance de CA
CA²=(xA-xC)²+(yA-yC)²
=(-3-17)²+(1-(-32))²
=1489

Calcul de la distance de CB:
CB²=(xB-xC)²+(yB-yC)²
=(3-17)²+(4-(-32))²
=1492

Donc le point C n'est pas à égale distance donc il n'est pas sur la médiatrice de [AB].
Voilà :)

Re-bonjour,
Cela me paraît pas mal, juste une remarque, calcule aussi \(AB^2\), pour affirmer que MAB n'est pas isocèle (il n'y a pas deux côtés égaux).

Ok pour AB².
Merci beaucoup !

Re-bonjour,
je crois qu'on a fait le tour ; j'espère que tu as compris l'importance de traduire géométriquement certaines situations afin d'obtenir des démarches simples et efficaces. C'est cela, faire des maths !