SOS-MATH

Bonsoir,

Je bloque sur un premier exercice que voici :

Soit u la suite définie, pour tout entier naturel n , par:

u(indice 0)=-1 et u (indice n+1)=2u(indice n)+1/2

1] calculer les cinq premiers termes: j'ai trouvé u (indice 1)= -1.5; u (indice 2)= -2.5; u (indice 3)= -4.5; u (indice 4)= -8.5; u (indice 5)= -16.5

2] Soit v la suite définie sur N par V (indice n ) = u (indice n+1) - u (indice n)
a) Calculer les premiers termes de la suite v et établir une relation de récurrence simple reliant les deux termes successifs de la suite v: j'ai trouvé v (indice 0) = -1/2; v (indice 1)= -1; v (indice 2)= -2; v (indice 3)= -2; v (indice 4)= -4 et j'ai v(indice n+1)= v (indice n) x 2
b) En déduire que pour tout entier naturel n, v(indice n ) \(\leq\) 0 : Comme le premier terme de la suite v est négatif les autres seront toujours négatif.
c) (et là je n'arrive pas du tout ) Quel est le sens de variation de la suite u ? (on a appris dans le cours trois méthode différentes dont avec la dérivée (si c'est un polynôme) ; avec u(indice n+1) - u(indice n ) ; ou u(indice n+1) / u(indice n )

Mais je ne vois pas comment l'appliquer à cette question (nous avons fait des exemples avec ce type de formule u(indice n+1) = 2n +3 mais pas ressemblante à ce cas là )


J'espère avoir été clair ! Merci d'avance !

Bonsoir Théo,

Pour la question 1, tes calculs sont corrects (j'ai vérifié jusqu'à \(u_3\) seulement).

Pour la question 2) a), une fois que tu as trouvé la formule à l'aide des premiers termes, il faut démontrer quelle est vraie pour tout n.

Je vais t'y aider :

On a, \(v_n=u_{n+1}-u_n=u_n+\frac{1}{2}\).

D'où, \(v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}=2u_n+\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=2u_n+1=2v_n\) pour tout \(n\) entier naturel.

Pour la b), tu ne peux pas te contenter de dire : "Comme le premier terme de la suite v est négatif les autres seront toujours négatifs".

En effet, le signe du premier terme ne dit a priori rien des autres.

Il faudra donc démontrer ou expliquer quelque en plus.

Enfin, pour la c), il faut revenir à la définition même du sens de variation et articuler cette définition avec le signe de \(v_n\) précédemment établi.

Bonne continuation.

sos-math(22) a écrit :
Pour la b), tu ne peux pas te contenter de dire : "Comme le premier terme de la suite v est négatif les autres seront toujours négatifs".

En effet, le signe du premier terme ne dit a priori rien des autres.

Il faudra donc démontrer ou expliquer quelque en plus.

Enfin, pour la c), il faut revenir à la définition même du sens de variation et articuler cette définition avec le signe de \(v_n\) précédemment établi.

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Pour la b) pourrais-je justifier ça avec \(u_{n+1} - u_n\)? ( résultat positif/négatif )
Pour la c) Je pense que l'on peut dire:
La suite (\(v_n\) ) est décroissante pour tout n, \(v_{n+1} \leq v_n\) ??

Non, pour la b), je te laisse y réfléchir!

C'est pour la c) qu'il faut utiliser le signe de la différence de deux termes consécutifs \(u_{n+1}-u_n\).

Bon courage.

Bonsoir,

J'ai de nouveau un problème pour un exercice suivant (le 51 ) à la question 3 je bloque, je ne vois comment résoudre cela

pouvez vous me donnez une piste pour que je trouve la réponse par moi même

Bonjour,
les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont les suites de rang pair et impair,
donc on a \(a_{n+1}=u_{2(n+1)}=u_{2n+2}\) et \(b_{n+1}=u_{2n+3}\).
A toi d'obtenir ces termes en fonction de \(u_n\).