Les nombres premiers

[Invité]

Bonjour soso maths!!! je suis sonfronté à un exercice que j'ai vraiment du mal à résoudre... Si vous pouviez m'aider... merci!!

Enoncé: Ils'agit de montrer que quel que soit l'entier naturel p, il y a toujours un nombre premier strictement supérieur à p. On note p un entier non nul, et A(p) = px(p-1)(p-2)x...x3x2x1+1. Par exemple, A(2)=2x1+1=3.
1)Calculez A(3) et A(4). ==> j'ai trouvé 7 et 25 respectivement.
2) Soit q un eniter tel que 2≤q≤p.
a) Prouver que q divise A(p)-1. ==> je suis parvenu à le montrer en faisant appel aux factoriels.
b) Déduire de la question précédentele reste de la division euclidienne de A(p) par q. ==> j'ai trouvé 1 en justifiant.
c) En déduire que q ne divise pas A(p)==> q ne divise pas A(p) car il ne divise pas la différence A(p)+1-A(p)=1
3) Justifier de ce fait que si A(p) n'est pas premier, alors il a un diviseur strictement supérieur à p qui est un nombre premier.==> J'ai beau cherché pour cette question, je ne parviens pas à la résoudre. 4) Déduire des précédentes questions qu'il existe toujours un nombre premier strictement supérieur à p.==> Il enva de même pour cette question, je suis complètement bloqué.5) Montrer alors qu'il existe une infinité de nombres premiers. ==> comme je n'arrive pas à répondre aux 2 précédentes questions je suis bloqué...
Votre aide me serait très précieuse s'il vous plait... j'ai beaucoup travaillé cet exercice et je n'y parviens pas..Merci d'avance.
Ludivine.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Vous avez vu que un entier q ≤p ne divise pas A(p)
Si A(p) n'est pas premier alors il admet un diviseur premier et d'après le résultat précédent ce diviseur ne peut pas être inférieur ou égal à p donc il est supérieur à p.
Pour la question suivante
Soit p un nbe entier; soit A(p) est premier et il est supérieur à p
Soit A(p) n'est pas premier et vous êtes dans le cas précédent.
Bon courage

[Invité]

Merci beaucoup pour votre aide!!!! Je vous suis très reconnaissante!!!

[SoS-Math(10)]

A bientôt

sosmath