Equation tangente et tout le reste

[John (1ère S)]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur la dérivation et je suis bloqué à un endroit >.<


L'énoncé : ''f(x) est une fonction définie sur R avec f(x) = x^3.
C représente sa courbe dans un repère.''


a) Déterminer l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 1.
On note y = ax + b cette équation.


==> On sait que f(x) = x^3
Et sa fonction dérivée f'(x) = 3x²

Donc on peut dire que y = f'(1) (x-1) + f(1)
y = 3 (x-1) + 1
y = 3x - 3 + 1
y = 3x -2


Donc l'équation de cette tangente T à C, au point d'abscisse 1 est y = 3x -2.



b) On pose d(x) = f(x) - (ax+b)
Vérifier que pour tout réel x, d(x) = (x-1)² (x+2)

==> (x-1)² (x+2)
= (x²-2x+1) (x+2)
= x^3 +2x² -2x² -4x +x + 2
= x^3 -3x + 2

Or on nous dit que d(x) = f(x) - (ax+b)
d(x) = x^3 -(3x - 2)
d(x) = x^3 - 3x + 2



On peut donc dire, comme on a un résultat identique, que d(x) = (x-1)² (x+2)

Pour tout réel x, d(x) = (x-1)² (x+2)



c) En déduire la position de C par rapport à T

==> Là je ne comprends pas, car sur ma calculatrice, lorsque que je trace ma courbe et la droite d'équation y = 3x-2 au point d'abscisse 1...
Okay, cela forme une tangente au point d'abscisse 1 mais ca coupe la courbe en plusieurs parties =S

Et je ne vois pas trop comment répondre à cette question, comment je pourrais faire etc...



d) Tracer T puis C

==> Là non plus je ne vois pas l'intérêt, puisque que j'ai T et C donc ca voudrait dire que je pourrais faire la question d avant la c ... ?
Pas très logique je trouve. Mais j'ai essayé de me reporter à l'aide du bouquin et on me dit :

''d) Déduire de c) l'étude du signe de d(x)
Si d(x) >= 0 sur un intervalle I alors la courbe C est au-dessus de la droite T sur cet intervalle''

Comment on peut savoir cela ?? Je n'y comprends vraiment rien..

De plus pour étudier un signe, je sais faire avec un polynôme du second degré mais avec un polynôme du troisième degré...


Voilà merci de votre aide s'il vous plaît =)

[SoS-Math(9)]

Bonjour John,

Les question a) et b) semblent justes.
Pour la question c), il faut étudier la position de la courbe C et de la tangente T, donc il faut étudier le signe de d(x).
Ce signe est assez facile à trouver avec la factorisation donnée.
(NB : si d(x) > 0 sur l'intrervalle I, alors f(x) > ax+b sur I donc C est au desuus de T sur I).

Je ne comprends pas où est le problème pour la question d) !
C'est logique de tracer la courbe et sa tangente après avoir étudier leur position relative !

SoSMath.

[John (1ère S)]

Bonjour,

J'ai bien compris ce que vous dites mais je ne vois pas comment déterminer le signe de d(x).

C'est une fonction polynôme x^3 -3x +2, je ne vois pas comment je peux faire...


Si c'était une fonction polynôme du 2nd degré je veux bien mais avec un polynôme du 3è degré, je fais comment ? =S

Je sais bien qu'à l'intérieur des racines, c'est le signe contraire de a soit -a... Mais ici, je n'ai pas de x² ?



Voilà merci de votre aide.

[John (1ère S)]

Rebonjour !

Ca y est, je crois que j'ai compris.


Avec la factorisation de (x-1)² (x+2) je peux le faire

En fait j'ai (x² -2x +1) (x+2)

Donc je fais le signe de ce trinôme et ensuite le signe de x+2


Au moins enfin j'aurais le signe de d(x) et donc je saurais sur quel intervalle f(x) > (ax+b) [ou bien C au-dessus de T]


Merci de votre aide précieuse =)

[SoS-Math(9)]

C'est bien John,

tu as compris ce qu'il fallait faire.

Bonne continuation,
SoSMath.

[John (1ère S)]

Bonjour,

Merci en effet je l'ai fait mais j'ai une autre question :

Je trouve que C est en-dessous de T sur ]-inf ; -2]
Et que C est au-dessus de T sur ]-2 ; +inf[


Est-ce que, j'ai le droit de mettre cela ?

Parce-que, je voulais dire, lorsque x = 1, et bien mes deux fonctions sont confondues =S


C'est juste pour savoir si je dois indiquer ]-2; 1[ U ]1; +inf[ ou bien si ]-2 ; +inf[ suffit.



Merci encore !

[SoS-Math(9)]

John,

tout ce que tu as écrit est juste !
Cependant, on évite de dire que des courbes sont confondues en un point, mais on dit plutôt qu'elles sont sécantes en un point.

SoSMath.

[John (1ère S)]

Rebonjour,

Donc je peux laisser tel que je l'ai mis ?


Merci bien !

[SoS-Math(9)]

John,

tu peux dire que C est en-dessous de T sur ]-inf ; -2]
Et que C est au-dessus de T sur ]-2 ; 1[ u ]1; +inf[
et qu'elles sont sécantes en x=1


SoSMath.

[John (1ère S)]

Bonjour,

Merci beaucoup, je vais faire comme vous l'avez dit alors !


Merci encore et bonne journée !

[SoS-Math(9)]

A bientôt,
SoSMath.