Bonjour, voilà j'ai un probléme avec l'exercice d'un devoir maison. Voici le problème :
Le but de cet exercice est de montrer qu'un entier N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. A l'entier N qui s'écrit anan-1.....a2a1a0 dans le système décimal, on associe le polynôme P(x)=anX^n+an-1X^n-1......a2X^2+a1X+a0 ainsi N= P(10).Un exemple : Au nombre N=9873, on associe la fonction polynôme
P(x)= 9x^3+8x^2+7x+3, ainsi N= P(10).
1° Soit S la somme des chiffres de N. Montre que S = P(1)
Pour cette question j'ai fait : P(x)=9x^3+8x^2+7x+3
P(10)= (9*10^3)+(8*10^2)+(7*10)+3
N=9873
S= 9+8+7+3
P(1)= 9+8+7+3
= 27
Donc S=P(1)
2° On pose Q(x)=P(x)-S. Montrer que 1 est racine de Q(x).
Ici j'ai fait : Q(x)= P(x)-S
= anX^n+an-1X^n-1+a2X2+a1X+a0-(an+an-1+a2+a1+a0)
= 0
Donc 1 est une racine de Q(x).
3° En déduire que P(x)= (x-1) R(x)+S où R est une fonction polynôme de degré n-1.
Voila ce que j'ai fait : (X-1)(anX^n-1+an-1X^n-2+a2X^2+a1X+a0)+an+an-1+a2+a1+a0 = anX^2n-1+an-1X^2n-2+a2X^3+a1X^2+a0-anX^n-1-an-1X^n-2-a2X^2-a1X-a0+an+an-1+a2+a1+a0 = anX^2n-1+an-1X^2n-2+a2X^3+a1X^2+a0
4° Montrer que N= 9R(10)+S. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
Voici les calculs que j'ai fait et j'aimerais savoir si la démarche est bonne ou pas. Pouvez m'aider s'il vous plait merci d'avance.Tatiana.
problème polynômes 1°S
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