SOS-MATH

Bonsoir,j'ai un DM sur la dérivation mais je bloque au dernier exercice (indépendant des autres), le voici :
Une armée fait 50 km de long, l'armée avance à une vitesse constante, un messager part de l'arrière garde de l'armée, galope pour aller délivre le message a l'avant puis revient a l'arrière garde.
Il arrive à l'arrière-garde exactement au moment où l'armée a parcouru 50 km

Quel distance au totale le messager a-t-il parcourue ?

Merci de votre aide

Bonsoir Pierrick

Ce problème me paraît bien compliqué à expliquer, tu dois considérer plusieurs inconnues liées par des relations du type D = V t où D désigne une distance, V une vitesse et t la durée du trajet.
En premier appelle V la vitesse du messager, v la vitesse de l'armée, t1 la durée mise par le messager pour aller de l'arrière à l'avant de l'armée, t2 la durée mise par le messager pour retourner à l'arrière et d la distance parcourue au delà de 50 km pour atteindre la tête de l'armée, le messager fait 50 km plus la distance que l'armée a parcourue entre temps.
Pour aller de l'arrière à l'avant la vitesse relative du messager est V-v et pour retourner elle est de V+v.
Tu as donc \(t_1=\frac{50+d}{V-v}\) ; \(t_2=\frac{d}{V+v}\) et aussi \(t_1+t_2=\frac{50}{v}\); \(t_1+t_2=\frac{50+2d}{V}\)
A l'aide de ces quatre équation déduis en d, puis la relation entre V et v et conclus.

Bon courage

Bonsoir,
Mon professeur m'a dit qu'il fallait non pas utilisé la dérivation (malgré que l'on l'étudie en ce moment) mais qu'il fallait passer par une équation du second degré.
Mais j'ai réfléchis et je me dis :
Si je messager va très vite, plus vite que l'armée, exemple : il aura fait 6o km pour arriver a l'avant et l'armée aura avancer de 10 km et enfin il peut revenir a l'arrière très doucement, et laissez l'armée " venir à lui" : il avance de 10 km vers l'arrière pendant que l'armée en fera 40km. L'armée aura donc avancer de 5à km et le messager de 70 km. Et cela change en fonction de sa vitesse par rapport a l'armée a l'aller puis au retour. Et il faut pourtant ne trouver qu'une seule distance parcourue par le messager ( 1 solution). C'est cela que je ne comprend pas.

je comprend votre méthode et les calculs mais je ne vois pas comment se ramener a un trinôme

Je vous remercie de prendre le temps de m'aider.

Bonsoir,

En effet tous les calculs que je vous propose se ramènent à des équations du second degré, mais il n'est pas nécessaire de les résoudre puisque la solution est obtenue par substitution et que la distance parcourue en plus des 50 km est obtenue par ce moyen, ensuite on trouve la distance totale parcourue qui est 50 + 2d.

Bonne continuation

Bonjour,

Attention, hier soir en allant un peu vite, j'ai dit que la distance totale parcourue par le messager est 50 + 2d or elle est \(50 + d + (d-t_2v)\) car l'armée continue d'avancer. Aussi j'ai repris les calculs et j'ai essayé d'avoir une équation du second degré :

Tu as, avec les mêmes notations que précédemment, \(t_1=\frac{50}{V-v}\) ensuite \(t_2=\frac{d}{V+v}\) ; or \(d=t_1\times{v}\) et \(t_1+t_2=\frac{50}{v}\).
Commence par remplacer \(d\) par son expression dans \(t_2\), tu as donc \(t_2\) en fonction de \(t_1\).
Remplace ensuite \(t_1\) par son expression dans l'égalité : \(t_1+t_2=\frac{50}{v}\).

Regroupe tout dans un seul membre, Il te reste une équation à deux inconnues V et v, réduis au même dénominateur \(v(V^2-v^2)\), simplifie par 50 et déduis-en une équation du second degré où v est l'inconnue et V est considéré comme paramètre, c'est à dire un nombre utilisé comme coefficient.
Calcule \(\Delta\) et \(v_1\) et \(v_2\), élimine la solution négative et déduis-en une relation entre v et V.

Remplace alors v par son expression en fonction de V dans \(t_1+t_2=\frac{50}{v}\) puis termine en utilisant le fait que la distance parcourue par le messager est égale à \((t_1+t_2)\times{V}\).

Bon courage, je n'ai pas plus simple à te proposer.