SOS-MATH

bonjour,

je dois chercher l'erreur dans un énoncé de maths de la résolution de l'équation x²+x+1=0 où on me dit :

x²+x+1=0 équivaut à x²+x=-1 et comme 0 n'est pas solution de cette équation je peux diviser les deux membres par x donc x²+x=-1 équivaut à x+1=-1/x. Mais x²+x+1=0 équivaut à x²=-(x+1) donc on obtirnt x²=1/x ce qui équivaut à x^3=1. Or 1 est solutin de x^3 =1 donc 1 est solution de l'équation x²+x+1=0

pour moi l'erreur se situe à x²+x=-1 car si x >0 alors x²>x>0 donc x² +x >0 et si x<0 alors x² >0 acr un carré est toujours positif donc x²+x>0
dans les deux cas x²+x>0 donc -1 ne peut pas etre solution de x²+x

mais bon je suis pas vraiment sure de mon rasionnement ou si on explique cela comme sa ....

merci d'avance
au revoir

Non,votre raisonnement est faux. D'abord pour x>0, on n'a pas forcément x²>x.

En réalité l'équivalence est perdue au cours du calcul.
En réusumé :
\(\left\{ \begin{matrix} x²+x+1=0\\ x \neq 0 \end{matrix} \right\)

équivaut à
\(\left\{ \begin{matrix} x+1= \frac{-1}{x}\\ x+1=-x² \end{matrix} \right\)

et ce système entraine , mais n'équivaut pas à \(\frac{1}{x}=x²\)
Le contre exemple de x=1 le prouve.

D'une manière générale b=c n'entraine pas que
\(\left\{ \begin{matrix} a=b\\ a=c \end{matrix} \right\)
par contre
\(\left\{ \begin{matrix} a=b\\ a=c \end{matrix} \right\)

entraine b=c
bonne réflexion
Sos-maths(4)

hum je n'ai pas compris la différence entre entraine et équivaut à ....

merci d'avance

Bonjour,
A équivaut à B signifie que :
si la propriété A est vraie alors la propriété B est vraie
et si la propriété B est vraie alors la propriété A est vraie

Exemple : le théorème de Pythagore et sa réciproque
dans un triangle ABC : AB²+AC²=BC² équivaut à ABC rectangle en A


Avoir "A entraine B" n'implique pas que B entraine A
exemple : x>1 entraine x²>1
mais x²>1 n'entraine pas obligatoirement x>1 ( si x= -2, x² = 4 donc x²>1)

donc : x>1 entraine x²>1 mais x>1 n'est pas équivalent à x²>1

Dans votre cas, l'égalité x²+x+1=0 entraine que
\(x^{3}=1\)
donc un nombre solution de la première équation est solution de la deuxième mais toutes les solutions de la deuxième ne sont pas obligatoirement solutions de la première. C'est le cas pour 1
Bonne lecture

bonjour,

merci beaucoup , j'ai du relire plusieus fois avant de omprendre mais c'est bon maintenant !

merci beaucoup, bonne continuation

Pas de quoi ... et n'oubliez pas de revenir nous voir pour un prochain problème !