Fonction polynôme

[Eloïse]

Bonjour, j'ai quelques difficultés aux 2 dernières questions pourriez vous m'aider ?

Le but de cet exercice étant de montrer que pour tout nombre de la forme n^4-20n²+4 pour n supérieur ou égal à 5 est composé.
Au début de l'exercice nous devons calculer A(5) A(6) et dire si nous trouvons des nombres composés, c'est le cas.

1)- On considère la fonction polynôme A, définie pour x appartient à R, par:
A(x)= x^4-20x²+4
Vérifier que: A(x)=(x²-2)²-16x² (J'ai réussi.)

2)- En déduire que A(x)=P(x)*Q(x) où Pet Q sont des fonctions polynômes de degré 2.
A(x)=(x²-2)²-16x²
=(x²-4x-2)(x²+4x-2)

3)- Démontrer que les équations P(x)=1 et Q(x)=1 n'ont pas de solutions entières.
P(x)=1
x1=2-\/¯ 7 et x2=2+\/¯ 7
Q(x)=1
x1=-2-\/¯ 7 et x2=-2+\/¯ 7

4)- Conclure
Je n'arrive pas à conclure !

Merci d'avance pour votre aide. :)

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu as bien avancé dans ton problème.
Tu as montré que A(x)=P(x) x Q(x)

On cherche à montrer que le nombre A(x) est composé pour n'importe quelle valeur entière de x.

On peut remarquer que P(x) est un entier si x est un entier.
De même Q(x) est un entier si x est un entier.

Donc pour tout entier x, A(x) est le produit de deux entiers, donc il est composé à condition qu'aucun des deux ne soit égal à 1.

Or tu as montré dans la question précédente que P(x) et Q(x) ne peuvent être égal à 1.

Donc A(x) est un nombre composé.

sosmaths

[Eloïse]

Merci beaucoup ! :)

[SoS-Math(4)]

Pas de quoi.

sosmaths