Fonction : comportement asymptotique

[Maeva]

Bonjour, mon sujet est le suivant :

On considère la fonction f définie sur R* par f(x)=1/3 ( x² + x + 1/x )

soit g(x) = 2x^3 + x² - 1 pour tout x réel.

1. Dressez le tableau de variation de g
-> jai donc dérivé la fonction g puis étudié le signe de g'(x) et avec le théorème de stricte monotonie j'en ai déduit les variations de g : g croît strictement sur ]- l'infini ; -1/3 ] et sur [0; + l'infinie [
et g décroît sur [-1/3 ; 0 ]
g s'annule pour x = -1/3 et x = 0

2. en déduire que l'équation g(x)=0 admet une unique solution a ( on ne cherchera pas à calculer a )
-> g(x) est strictement croissante sur [0; + l'infini [ et g(0)=-1
g(x)=0 est donc compris sur cet intervalle donc g(x)=0 n'admet qu'une seul solution : a.

3. donner une valeur approchée de a à 0,1 près.
-> là je ne sais pas comment faire ....

4. Etudiez le signe de g(x) suivant les valeurs de x
-> là je pense y avoir répondu en ayant fait le tableau de variation au début.

Voila j'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance. A + tard

[sos-math(19)]

Bonjour Maeva,

Question 1 : Attention, ce n'est pas g, mais g' qui s'annule en −1∕3 et en 0.

Question 2 : g est strictement croissante sur [0;+inf[ et g(0) = −1 ne suffit pas à prouver l'existence d'une racine sur cet intervalle.

De plus, pour affirmer que g(x) = 0 a une seule solution sur R, il faut aussi prouver que l'équation g(x) = 0 n'a pas de solution sur ]−inf;0].

Question 3 : un examen graphique permet de voir que a est compris entre 0 et 1. Tu peux ensuite gagner une décimale par la méthode de balayage.

Question 4 : Le travail fait à la question 2 pour prouver que g(x) = 0 n'a pas de solution sur ]−inf,0] doit te permettre aussi de préciser le signe de g(x) sur ]−inf;0].

Sur [0;+inf[, il suffit de te servir de la définition de a et de la monotonie croissante de g sur cet intervalle.

Bonne continuation.

[maeva]

Je ne vois pas comment prouver que g(x)=0 n'a pas de solutions sur ]-inf;0]. Est-ce-que vous pourriez me donner un moyen pour prouver cela ? merci d'avance.

[sos-math(19)]

Bonjour Maeva,

En étudiant les variations, tu as prouvé que g admet un maximum sur ]−inf;0].
Il suffit d'utiliser la définition d'un maximum pour prouver que g(x) < 0 sur ]−;0].

A bientôt.