J'ai un DM en maths à faire pendant les vacances et je bloque sur une question..
Voici l'enoncé:
ABCD est un carré; AB = 1. C est le cercle de centre D et de rayon 1. T est un point de l'arc de cercle AC, distinct de A et de C.
La tangente au cercle C en T coupe le segment [AB] en M et le segment [BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant: Pour quelles positions de T la distance MN est-elle minimale? Pour cela, on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable x, par exemple en posant AM = x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul paraît impossible à priori. On introduit alors une autre variable y (on pose CN = y), en espérant que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.
1. Demontrez que MN² = x² + y² - 2x - 2y + 2
2. Prouvez que MN = x + y et donc que MN² = (x+y)²
3.Déduisez-en que y= (1-x)/(1+x), puis que MN= ( x²+1)/(x+1)
4)a)Dressez le tableau de variations de la fonction f:x ( x²+1)/(x+1) (x appartient à [0;1])
b)Deduisez-en que la distance MN est minimal lorsque x= √ 2-1
5)calculez y lorsque x=√ 2-1.
deduisez-en la position de T pour laquelle la distance MN est minimal.
Je n'arrive pas à la question 3: j'ai fait:
x²+y²-2x-2y+2=(x+y)²
Et j'ai trouvé: xy +x +y -1=0
Comment faire après?
Merci
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