SOS-MATH

Bonjour à tous !
J'ai besoin d'aide pour un exercice de maths.
J'ai réussi un peu le début mais je n'arrive pas à expliquer la fin...
Voila le sujet :

C et C' sont deux cercles de même rayon, de centres respectifs O et O'.
C et C' se coupent en deux points A et B.
Une droite (d) passant par A coupe C en M et C' en N.
Quel est la nature du triangle BMN ?

Il y a un guide de résolution :
1) Tracer la droite (d'), parallèle à (MN) et passant par B. La droite (d') recoupe C en P et C' en Q.
On note I le milieu de [AB]
Déterminer, en les justifiant, les images par la symétrie centrale de centre I : de la droite (d), des cercles C et C', des points M et N.
2) En déduire que BM=AQ et BN=AP
3) On note (delta) la médiatrice de [AM]
a) Déterminer, en les justifiant, les images par la symétrie axiale d'axe (delta) des points B et M
b) Conclure sur la nature du triangle BMN.

Ce que j'ai fait :

1) Le symétrique de A par rapport à I est B puisque I est le milieu de [AB].
Une droite et son symétrique sont parallèles par une symétrie centrale.
Donc le symétrique de (d) par rapport à I est en effet la droite parallèle à (d) passant par B.
On démontre aussi que OA=OB=O'A=O'B (même rayon pour les deux cercles).
Donc OAO'B est un losange de centre I.
On en déduit ainsi que le symétrique du cercle (C) par rapport à I est le cercle (C')...
Le symétrique de M est sur le symétrique de (C) et sur la droite symétrique de (d), donc c'est Q.
Le symétrique de N est sur le symétrique de (C') et sur la droite symétrique de (d), donc c'est P.

Voila...
Je n'arrive pas a trouver que BM=AQ et BN=AP
Si vous pourriez m'aider, ce serait sympa!
Merci a tous !

Bonjour Kelly,

Tu as fait du bon travail sur le début de l'exercice.

Tu as démontré que par la symétrie de centre I, l'image de :
(C) est(C') ; M est Q ; N est P ce qui signifie que I est le milieu de [MQ], I est le milieu de [NP] et I est le milieu de [AB] (par définition).
Tu as donc des parallélogrammes : BQAM et PBNA
Ce sont ces parallélogrammes qui te permettent de conclure que BM=AQ et BN=AP.

Par la symétrie axiale d'axe (delta), je te laisse prouver que l'image de B est P et celle de M est A.
Donc l'image de [PA] est [BM] et les deux segments ont la même longueur donc AP = BM d'où la conclusion...

Bonne recherche.

Merci pour votre réponse.

Voila ce que je propose :
Le symétrique de A est B (prouvé en 1.)
Le symétrique de Q est M (prouvé en 1. car Q symétrique de M <=> M symétrique de Q)
comme la symétrie centrale conserve les longueurs, BM = AQ !

Idem pour BN = AP !

Delta est la médiatrice de [MA] elle coupe la parallèle à (MA) qui est (PB) en son milieu et perpendiculairement c’est donc aussi la médiatrice de (PB).
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Le symétrique de B par la symétrie axiale d'axe (delta) ne serait-ce pas P. Comment le prouver ?
Le symétrique de M par la symétrie axiale d'axe (delta) ne serait-ce pas A. Comment le prouver ?

Merci de votre aide précieuse !

Bonjour,

Tu vas un peu vite quand tu dis

elle (delta) coupe la parallèle à (MA) qui est (PB) en son milieu et perpendiculairement c’est donc aussi la médiatrice de (PB).

Il faut, en fait, démontrer ce résultat car alors tu auras que l'image de P est B.

On cherche donc l'image de P par la symétrie d'axe (delte) : on va déterminer l'image de P comme étant l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d')...

Je te laisse réfléchir.

Bonjour,

Je l'ai démontré avec "Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.". Ce n'est pas suffisant ?

L'image de B par la symétrie axiale (delta) est l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d'), donc c'est P.
L'image de M par la symétrie axiale (delta) est l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d), donc c'est A.

Donc l'image de [PA] est [BM] et les deux segments ont la même longueur donc AP = BM.

B, N et M appartiennent au cercle C et C', les points O et O' sont symétriques par rapport au point I car se sont les milieux des cercles C et C' et comme la droite (MB) passe par O et que la droite (BN) passe par O', BNM est un triangle isocèle.

Voilà merci de me corriger.

Bonjour,

Ta démonstration est, dans l'ensemble, correcte. La fin présente des imprécisions voire des confusions.

B, N et M appartiennent au cercle C et C',
les points O et O' sont symétriques par rapport au point I
car se sont les milieux des cercles C et C' Non, ce sont les centres ! De plus, O et O' sont symétriques car tu as démontré que I est le milieu de la diagonale [OO'] dans le losange. Et c'est parce que ces points sont symétriques et que les rayons des deux cercles sont égaux que ces cercles sont symétriques ! J'ai l'impression que tu as perdu le fil de ta démonstration...
et comme la droite (MB) passe par O et que la droite (BN) passe par O', BNM est un triangle isocèle.
Ici, pour démontrer que ce triangle est isocèle, tu n'as qu'à démontrer que BM=BN. Or tu viens de démontrer que BM = AP et dans le début (avec la symétrie de centre I) que BN = AP...

Bonne continuation.

Bonjour,

Oh oui ! Que de confusions...

Mais merci de votre aide car j'ai maintenant compris mes erreurs !

A bientôt !

A bientôt et bonnes fêtes !