Besoin d'aide pour un "Exercice d'approfondissement"

[Kelly]

Bonjour à tous !
J'ai besoin d'aide pour un exercice de maths.
J'ai réussi un peu le début mais je n'arrive pas à expliquer la fin...
Voila le sujet :

C et C' sont deux cercles de même rayon, de centres respectifs O et O'.
C et C' se coupent en deux points A et B.
Une droite (d) passant par A coupe C en M et C' en N.
Quel est la nature du triangle BMN ?

Il y a un guide de résolution :
1) Tracer la droite (d'), parallèle à (MN) et passant par B. La droite (d') recoupe C en P et C' en Q.
On note I le milieu de [AB]
Déterminer, en les justifiant, les images par la symétrie centrale de centre I : de la droite (d), des cercles C et C', des points M et N.
2) En déduire que BM=AQ et BN=AP
3) On note (delta) la médiatrice de [AM]
a) Déterminer, en les justifiant, les images par la symétrie axiale d'axe (delta) des points B et M
b) Conclure sur la nature du triangle BMN.

Ce que j'ai fait :

1) Le symétrique de A par rapport à I est B puisque I est le milieu de [AB].
Une droite et son symétrique sont parallèles par une symétrie centrale.
Donc le symétrique de (d) par rapport à I est en effet la droite parallèle à (d) passant par B.
On démontre aussi que OA=OB=O'A=O'B (même rayon pour les deux cercles).
Donc OAO'B est un losange de centre I.
On en déduit ainsi que le symétrique du cercle (C) par rapport à I est le cercle (C')...
Le symétrique de M est sur le symétrique de (C) et sur la droite symétrique de (d), donc c'est Q.
Le symétrique de N est sur le symétrique de (C') et sur la droite symétrique de (d), donc c'est P.

Voila...
Je n'arrive pas a trouver que BM=AQ et BN=AP
Si vous pourriez m'aider, ce serait sympa!
Merci a tous !

[SoS-Math(7)]

Bonjour Kelly,

Tu as fait du bon travail sur le début de l'exercice.

Tu as démontré que par la symétrie de centre I, l'image de :
(C) est(C') ; M est Q ; N est P ce qui signifie que I est le milieu de [MQ], I est le milieu de [NP] et I est le milieu de [AB] (par définition).
Tu as donc des parallélogrammes : BQAM et PBNA
Ce sont ces parallélogrammes qui te permettent de conclure que BM=AQ et BN=AP.

Par la symétrie axiale d'axe (delta), je te laisse prouver que l'image de B est P et celle de M est A.
Donc l'image de [PA] est [BM] et les deux segments ont la même longueur donc AP = BM d'où la conclusion...

Bonne recherche.

[Kelly]

Merci pour votre réponse.

Voila ce que je propose :
Le symétrique de A est B (prouvé en 1.)
Le symétrique de Q est M (prouvé en 1. car Q symétrique de M <=> M symétrique de Q)
comme la symétrie centrale conserve les longueurs, BM = AQ !

Idem pour BN = AP !

Delta est la médiatrice de [MA] elle coupe la parallèle à (MA) qui est (PB) en son milieu et perpendiculairement c’est donc aussi la médiatrice de (PB).
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Le symétrique de B par la symétrie axiale d'axe (delta) ne serait-ce pas P. Comment le prouver ?
Le symétrique de M par la symétrie axiale d'axe (delta) ne serait-ce pas A. Comment le prouver ?

Merci de votre aide précieuse !

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Tu vas un peu vite quand tu dis

elle (delta) coupe la parallèle à (MA) qui est (PB) en son milieu et perpendiculairement c’est donc aussi la médiatrice de (PB).

Il faut, en fait, démontrer ce résultat car alors tu auras que l'image de P est B.

On cherche donc l'image de P par la symétrie d'axe (delte) : on va déterminer l'image de P comme étant l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d')...

Je te laisse réfléchir.

[Kelly]

Bonjour,

Je l'ai démontré avec "Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.". Ce n'est pas suffisant ?

L'image de B par la symétrie axiale (delta) est l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d'), donc c'est P.
L'image de M par la symétrie axiale (delta) est l'image du point d'intersection du cercle (C) et de la droite (d), donc c'est A.

Donc l'image de [PA] est [BM] et les deux segments ont la même longueur donc AP = BM.

B, N et M appartiennent au cercle C et C', les points O et O' sont symétriques par rapport au point I car se sont les milieux des cercles C et C' et comme la droite (MB) passe par O et que la droite (BN) passe par O', BNM est un triangle isocèle.

Voilà merci de me corriger.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Ta démonstration est, dans l'ensemble, correcte. La fin présente des imprécisions voire des confusions.

B, N et M appartiennent au cercle C et C',
les points O et O' sont symétriques par rapport au point I
car se sont les milieux des cercles C et C' Non, ce sont les centres ! De plus, O et O' sont symétriques car tu as démontré que I est le milieu de la diagonale [OO'] dans le losange. Et c'est parce que ces points sont symétriques et que les rayons des deux cercles sont égaux que ces cercles sont symétriques ! J'ai l'impression que tu as perdu le fil de ta démonstration...
et comme la droite (MB) passe par O et que la droite (BN) passe par O', BNM est un triangle isocèle.
Ici, pour démontrer que ce triangle est isocèle, tu n'as qu'à démontrer que BM=BN. Or tu viens de démontrer que BM = AP et dans le début (avec la symétrie de centre I) que BN = AP...

Bonne continuation.

[Kelly]

Bonjour,

Oh oui ! Que de confusions...

Mais merci de votre aide car j'ai maintenant compris mes erreurs !

A bientôt !

[SoS-Math(7)]

A bientôt et bonnes fêtes !