Exercice : géométrie dans l'espace.

[Daphné]

Bonjour,
En ce moment nous travaillons sur la géométrie dans l'espace, mais je bloque à un exercice... J'aimerai si cela est possible que vous m'aidiez car je n'y arrive pas dès la première question!! Merci beaucoup d'avance de votre future aide.
Daphné.

Voici l'énoncé en entier :

(ABCD) est un tétraèdre. I et K sont les points définis par vecteur AI = 1/3 de vecteur AB et vecteur DK = 1/3 de vecteur DC. J et L sont les milieux respectifs de [AD] et [BC].

1) (A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD) est-il un repère de l'espace ? Justifier.
2) Dans ce repère, donner les coordonnées des points A,B,C,D,I,J,K et L.
3) Calculer les coordonnées des vecteurs IJ, IK et IL.
4) Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ? Justifier.


1) Est-ce qu'il faut montrer que les vecteurs AB, AC et AD ne sont pas colinéaires? Si oui, comment les calculer?

[SoS-Math(2)]

Bonjour Daphné,
non . Il suffit de dire qu' ils sont portés par les arêtes d'un tétraèdre qui évidemment ne sont pas parallèles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Bon courage pour la suite.
SoS-Maths(2)

[Daphné - 1ère S]

Bonsoir, merci pour votre réponse.
Pour la question 2 j'ai trouvé ceci :
A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;0;1), D(0;2;0), I(1;0;0), J(0;1;0), L(3;2;0) et enfin K(0;2;1) mais j'hésitais aussi pour K(0;2;-1)
Est-ce bon ?
Merci!

[SoS-Math(2)]

Vos coordonnées sont fausses.
Puisque vec(AB) est le 1er vecteur unitaire du repère, les coordonnées de B sont (1,0,0)
Et I(1/3,0,0)
Recalculez les autres coordonnées.
A vos crayons.

[Daphné]

Bonsoir,
ah oui en effet je m'étais trompée, j'avais pris AC pour la cote alors que c'est AD!
J'ai essayé de recalculer les coordonnées mais j'ai du mal avec K et L :
A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(0;1;0)
D(0;0;1)
I(1/3;0;0)
J(0;0;1/2)
K(0;1;-1/3)
L(1;1/2;0)
Merci.

[SoS-Math(2)]

Effectivement vos coordonnées de k et L sont fausses. Les autres sont justes

L milieu de [BC] donc xL = (xB+xC)/2 etc ...

Pour K vous cherchez les coordonnées du vecteur AK
Vous avez vec(DK) = 1/3 vec(DC)
avec la relation de chasles exprimez vec(AK) en fonction des vecteurs AD et AC.
Bon courage

[Daphné]

Bonsoir,
Est-ce que les coordonnées de L sont : L(1/2;1/2;0) ?
Merci de votre aide.

[SoS-Math(2)]

Oui c'est juste.
Aux coordonnées de K maintenant !!

[Daphné]

Donc pour K, je fais chasles comme vous l'avez dit :
DK = 1/3 DC
DK = 1/3 (AD + AC)

Cependant je ne vois pas par quoi remplacer DK..
merci.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Daphné
Vous appliquez mal la relation de Chasles

\(1$\vec{DC}=\vec{DA}+\vec{AC}\)
donc
\(1$\vec{DK}=\vec{DA}+........\)

Vous pouvez aussi travailler directement sur les coordonnées
\(1$\vec{DC}\) a pour coordonnées ( 0,1,-1) donc 1/3 \(1$\vec{DC}\) a pour coordonnées (0, .......)

\(1$\vec{DK}\) a pour coordonnées ( xk - xD , ........)
Les deux vecteurs sont égaux donc leurs coordonnées sont égales
xk - xD = 0
yK-YD = ..
...... = .......
A vous de continuer

[Daphné]

Bonjour,
Pour chasles, est-ce que c'est cela :
DK = DA + AC + CK
DK = DA + AC + 2/3 CD ?
Merci.

[SoS-Math(2)]

Vous devez décomposer en fonction du vecteur que vous voulez avoir
Les coordonnées de K sont celles du vecteur \(1$\vec{AK}\)
Donc
\(1$\vec{DK}=\vec{DA}+\vec{AK}\)
Mais utilisez plutôt l'autre méthode que je vous ai donnée tout à l'heure

[Daphné]

D'accord, mais je ne comprends pas très bien non plus :
DC (0,1,-1)
1/3 DC ( 0, 1/3, -1/3)

DK( xK-xD; yK-yD; zK-zD)
xK-xD = 0
yK-yD = 0
zK-zD = -1

Je ne comprends pas ce qu'il faut faire maintenant ?
Merci.

[SoS-Math(2)]

Vous ne prenez pas assez le temps de réfléchir

DK( xK-xD; yK-yD; zK-zD)
xK-xD = 0
yK-yD = 0
zK-zD = -1

Je ne comprends pas xK-xD = 0
xD = 0 donc xK-xD=xK-0=xK
Faites la même chose pour les deux autres
Vous aurez ainsi exprimez les coordonnées de DK en fonction de celles de K
Puis vous les rendez égales à celles de DC
Et avant de reposter un message, cherchez un peu plus.

[Daphné]

Je pense avoir trouvé,
D(0,0,1)

DK( xK-xD; yK-yD; zK-zD)
DK ( xK-0; yK-0; zK -1)
xK-0 = xK
yK-0 = yK
zK + 1 = zk +1

DC (0,1,-1)

xK = xDC = 0
yK = yDC = 1
zK + 1 = zDC
zK = -1 - 1 = -2

K(0;1;-2)

3) IJ = ( 0- (1/3) ; 0-0 ; (1/2) - 0)
IJ = ( -1/3 ; 0 ; 1/2 )

IK = ( 0 - 1/3 : 1 - 0 ; -2 - 0)
IK = ( -1/3 ; 1 ; -2)

IL = ( (1/2) - (1/3) ; 1/2 - 0 ; 0 - 0 )
IL = ( 1/6 ; 1/2 ; 0)

4) Ces 3 vecteurs ne sont pas coplanaires, car il n'existe pas un réel K tel que KIJ = IK = IL

Est-ce bon ?

Merci pour votre aide.