trinomes

[Eloise]

Bonjour je suis complètement déboussolée par cet exercices pouvez-vous m'aidez ?

Voilà :
Déterminer un polynome P du second degré tel que l'on ait pour tout réel x :

P(x+1)-P(x)=x
J'ai essayé de faire a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=x
mais à la fin je trouve 2ax+a+b=x et je suis bloquée puisque il y a 3 inconnues Comment faire ?

Ensuite les autres questions sont : Ecrire l'égalité précédente pour x=1, x=2,...x=n
En déduire la somme S1=1+2+...+n

Pouvez vous m'éclairer sur ce problème ? Cordialement.
Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Eloïse,
Le début est très bien.
On arrive en effet à \(2ax+a+b=x\).
Il n'y a pas trois inconnues puisque \(x\) est la variable des polynômes.
Pour trouver a et b, il s'agit d'écrire que les coefficients de ces deux polynômes du premier degré sont égaux: \(2a=1\) et \(a+b=0\).
Pour \(c\), vous pourrez choisir n'importe quel nombre, par exemple \(c=0\).
Ensuite, pour la question suivante:
\(P(2)-P(1)=1\), en remplaçant x par 1.
\(P(3)-P(2)=2\), en remplaçant x par 2.
etc...
\(P(n+1)-P(n)=n\), en remplaçant x par n.
Il vous suffit alors d'ajouter membre à membre toutes ces égalités.
Bon courage.

[Eloise]

Bonsoir et merci pour le coup de main.

Mais voilà j'ai un autre soucis :
Déterminer un polynômes Q du troisieme degré tel que l'on ait pour tout réel x
Q(x+1)-Q(x)=x^2

Donc là j'ai fait : a(x+1)^3+b(x+1)^2+cx+d-ax^3-bx^2-cx-d=x^2
et là je suis bloquée.

Comment faire ?
Cordialement. Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut faire la même méthode en sachant comment développer \((x+1)^3\).
\((x+1)^3=(x+1)^2(x+1)=(x^2+2x+1)(x+1)=x^3+3x^2+3x+1\).
Bon courage.

[Eloïse]

bonjour merci de m'avoir répondu.

J'ai développé l'expression du troisieme de degré Q(x+1)-Q(x)=x^2
et cela me donne 3ax^2+3ax+a+2bx+b+c=x^2
Dois-je résoudre cette équation du second degré : 3ax^2-x^2+3ax+2bx+a+b+c=0 ?

Cordialement. Merci.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Eloïse,
On trouve en effet \(Q(x+1)-Q(x)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)=x^2\).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
Il faut donc résoudre le système: \(3a=1\), \(3a+2b=0\), \(a+b+c=0\).
Pour d, on pourra choisir n'importe quel nombre.
Bon courage.

[Eloïse]

Bonjour, et merci de m'avoir aidé pour l'exercice.

Cependant je n'ai pas compris ce qu'il fallait faire après avoir trouvé les polynômes et calculé pour x=1, x=2...x=n
C'est-à-dire la consigne suivante : en déduire la somme S1=1+2+...+n puisque je ne connais pas les valeurs entre 2 et n.
Que dois-je faire ?

De même après avoir trouvé le polynôme Q du troisième degré tel que pour tout x : Q(x+1)-Q(x)=x^2 il me demande en déduire S2=1^2+2^2+...n^2 Que dois-je faire sachant que pour polynôme du troisième degré Q j'ai trouvé:
(1/3)x^3+(-1/2)x^2+(1/6)x+1

Cordialement.

Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Eloïse,

tu as trouvé P tel que P(x+1) - P(x) = x.
Donc
pour x = 1, tu as P(2) - P(1) = 1
pour x = 2, tu as P(3) - P(2) = 2
.....

Additionne membre à membre toutes ses égalités et tu trouveras ta somme ...

C'est la même méthode pour ta deuxième somme S2=1^2+2^2+...n^2.

Bon courage,
SoSMath.

[Eloise]

Bonjour et merci de m'avoir répondu !

Donc si j'ai bien compris la somme S1=P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(n+1)-P(n)=1+2+...+n mais à quoi cela sert d'ajouter tous ces membres ?

Pour la dernière question pareil S2=Q(2)-Q(1)+Q(3)-Q(2)+Q(n+1)-Q(n)=1+4+...+n^2

Est-cela parce que cela me parait inutile de montrer quelque chose qui est déjà donné dans l'exercices et qui ne prouve rien de plus. Pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est-juste car je suis sûre que c'est faux.
Cordialement.

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Eloise,

tu as fait le plus dur ... observe ta somme : P(2)-P(1)+P(3)-P(2) + ....
Ne vois-tu pas une simplification ?

SoSMath.

[Eloise]

Bonsoir,

Si effectivement j'observe une simplification P(2) et -P(2) donc cela nous donne -P(1)+P(3)+P(n+1)-P(n)=1+2+...+n
Mais je ne vois toujours pas ce que l'on peut constater d'autre. Pouvez-vous me dire si la somme S1 est terminée ?

Je pense qu'il en est de même pour l'équation Q : Q(2)-Q(1)+Q(3)-Q(2)+Q(n+1)-Q(n)=1+4+...+n^2 avec Q(2) et -Q(2) qui s'annulent donc on a -Q(1)+Q(3)+...+Q(n+1)-Q(n)=1+4+...+n^2

Et je pense que si on continuait à prendre les valeurs de x consécutives à chaque fois une valeur s'annulerait.
Est-ce juste ? Comment montrer ce résultat là ?

Merci.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
...
n=P(n+1)-P(n)
Donc on a: 1+2+...+n=P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n+1)-P(n).
Donc: 1+2+...+n=P(n+1)-P(1).
Tous les autres termes s'éliminent.
Maintenant que vous connaissez P(x), on peut calculer P(1) et exprimer P(n+1) en fonction de n.
Autrement dit, vous devez obtenir une formule en fonction de n de la somme 1+2+...n.
Bon courage.