Fonctions dérivées 1ere S

[Daphné]

Bonjour !
Je suis en première S et la semaine prochaine j'ai un contrôle de maths sur la dérivation, c'est pourquoi je me suis entraînée à dériver des fonctions et j'aimerai, si cela est possible, que vous corrigiez mes -nombreuses!- erreurs. Désolé pour cette mauvaise mise en page et pour toutes ces fonctions ! Merci infiniment d'avance de votre future réponse et aide.
Daphné.

I) f(x) = -5x^3 + 4x² - 9x - 5
f '(x) = -15x² + 8x - 9

II) f(x) = - (1/2)x^4 + 3x^3 - 4x² + (racine de 3) * x + 1
f '(x) = (-1/2) * 4x^3 + 9x² - 8x + racine de 3
f '(x) = (-4x^3 / 2 ) + 9x² - 8x + racine de 3

III) f(x) = - (racine de x) + (x² / 2)
f '(x) = 0 + ( x² / 2 )

On applique la formule U/V et je trouve :
u(x) = x², u'(x) = 2x
v(x) = 2, v'(x) = 0

U'.V - U.V' / V² = (2x * 2) - (x² * 0) / 2² = 4x/4 = x

f '(x) = x

IV) f(t) = (4t^5) / 5

On applique U/V :
u(x) = 4t^5 ; u'(x) = 20t^4
v(x) = 5 ; v'(x) = 0

U'.V - U.V' / V² = (20t^4 * 5) - (4t^5 * 0) / 5² = 5(20t^4) / 5² = (100t^4) / 25

f '(t) = (100t^4) / 25

V) f(x) = (x^3 + 12x - 1) / 4

On applique U/V :
u(x) = x^3 + 12x - 1 ; u'(x) = 3x² + 12
v(x) = 4 ; v'(x) = 0

U'.V - U.V' / V² = 4(3x² + 12) - 0(x^3 + 12x - 1) / 4² = 4(3x² + 12) / 4² = (12x² + 48) / 16
f '(x) = (12x² + 48) / 16

VI) f(u) = (2u + 3)(5u +1)

On applique (u*v) :
u(x) = 2u + 3 ; u'(x) = 2
v(x) = 5u + 1 ; v'(x) = 5

u'v + uv' = 2(5u + 1) + 5(2u + 3) = (10u + 2) + (10u + 15) = 20u + 17

f '(u) = 20u +17

VII) f(x) = (7x - 2)²

On applique (u^n) :
u(x) = 7x - 2 ; u'(x) = 7

nu^n-1 * u' = 2(7x - 2) * 7 = 14(7x - 2)²
f '(x) = 14(7x - 2)²

Est-ce juste si je fais f(x) = (7x - 2)(7x - 2) et que j'applique la formule (uv) = u'v + uv' ?
Et Ai-je le droit de développer directement (7x - 2)² pour ensuite calculer la dérivée?

VIII) f(x) = [(racine de x) + 1]²

On applique (u^n) :
u(x) = (racine de x) + 1 ; u'(x) = 1 / (2 racine de x)

nu^n-1 * u' = 2[(racine de x) + 1] * 1 / (2 racine de x)

f '(x) = [ 2 / (2 racine de x)]*[(racine de x) +1]

VIIII) f(x) = x + sinx

On applique (u+v) :
u(x) = x : u'(x) = 1
v(x) = sinx : v'(x) = cos x

u'+v' = 1 + cos x = cos x

f '(x) = cos x

X) f(t) = t sint

On applique (ku) :
u(x) = sint ; u'(x) = cost

k.u' = t*cost = cost²

f '(x) = cos.t²

XI) f(x) = -2cosx + x²

v(x) = x² ; v'(x) = 2x

On applique (ku) pour -2cosx :

u(x) = cosx ; u'(x) = -sinx

ku' = -2(-sinx) = 2sinx

f '(x) = 2sinx + 2x

XII) f(x) = - (4 / x^3 )

On applique u/v :
u(x) = 4 ; u'(x) = 0
v(x) = x^3 ; v'(x) = 3x²

U'.V - U.V' / V² = (0 * x^3) - (4 * 3x²) / (x^3)² = (4 * 3x²) / (x^3)² = (12x²) / x^6

f '(x) = - (12x²) / x^6

[SoS-Math(9)]

Bonjour Daphné,

I et II semblent justes.

Pour le III :

Pour dériver $\frac{x^2}{2}$ il est inutile d'utiliser la formule u/v .... car v est une constante !
Rappel : $\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}x^2$

Deplus la dérivée de $\sqr{x}$ n'est pas 0 mais $\frac{1}{2\sqr{x}}$.

Pour le IV, V : juste mais voir remarque au III
De plus pense à simplifier ton quotient.

Pour le VI : c'est juste, mais attention à ne pas confondre variable et fonction ...
ici u est la variable (et non x) donc u ne peut pas être une fonction ...

Pour le VII: tu as pris la bonne méthode.
Les deux autres méthodes "marchent" bien évidemment !

Pour le VIII : c'est juste mais pense à simpifer ton quotient ..

Pour le IX : tu as écrit : "1 + cos x = cos x" c'est FAUX !!!
1 + cos x, tu ne peux pas le simplifier.

X) f(t) = t sint

On applique (ku) : NON car t est ta variable, donc ce n'est pas une constante ! Il faut utiliser (uv)' = ...
Attention : sin t ne veut pas dire sin * t

XI) le réponse est juste.

Et enfin XII) : Simplifie ton quotient ... ce pendant ici tu peux utiliser (1/u)' ...
en effet $\frac{-4}{x^3}=-4\frac{1}{x^3}$


Bon courage,
SoSMath.

[Daphné]

Merci beaucoup de votre aide !

J'ai simplifié les quotients là où il le fallait et appliqué (1/u)' au lieu de (u/v) cependant je n'arrive pas vraiment à comprendre le III) car je trouve que la dérivée de (x²/2) en appliquant (1/u) est égale à 0 et donc f '(x) = [-1 / 2(racine de x)]; comment cela se fait?

Ensuite j'ai refais le X) en appliquant (uv)' et j'ai trouvé f '(t) = sint + t(cos t)
Est-ce bon? Si oui, ai-je le droit d'écrire t(cos t) = cos t² ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Daphné,
$x^2=\frac{1}{2}x^2$
Donc la fonction dérivée de la fonction définie par $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ est la fonction f' définie par $f'(x)=\frac{1}{2}\times2\times~x=x$.
On applique pas du tout ici la dérivée de 1/u.
Pour la dérivée de la fonction f définie par $f(t)=tsint$, vous avez raison.
Par contre, $tcos(t)\neq~cos(t^2)$.
Essayer de remplacer t par $\pi$, par exemple.
Bon courage.

[Daphné]

Bonjour, je suis d'accord que x est la dérivée de (1/2)x², seulement que devient le (- racine de x ) de la fonction de départ? Désolé, je suis longue à la compréhension!!
En tout les cas, merci beaucoup de votre aide et, pourrais-je à nouveau abuser de votre générosité en vous envoyant d'autres fonctions que j'ai dérivée ?
Merci d'avance !

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Je ne vois pas pourquoi vous me parlez de $-\sqrt{x}$.
A bientôt.

[Daphné]

Parce-que la fonction de départ était : f(x) = - (racine de x) + x² / 2

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
D'accord, je n'avais pas relu votre message de départ.
La dérivée de la fonction définie par $g(x)=\sqrt{x}$ est la fonction g' définie par $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}$.
Donc votre fonction dérivée sera définie par $f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}+x$, obtenue comme somme de deux fonctions dérivées.
Bon courage.

[Daphné]

Ok! Merci pour votre aide.

[SoS-Math(7)]

A bientôt.

[Daphné]

Bonsoir, excusez-moi de vous déranger à nouveau mais je bloque sur une fonction.
La fonction est f(x) = x racine de x
Je ne savais pas quelle formule utiliser pour la dériver alors j'ai essayé d'appliquer (racine de u)' et je trouve : (1) / 2 racine x, cependant j'ai aussi essayé la formule (uv)' et je trouve un résultat totalement différent qui est : (racine de x) + x / (2 racine de x)

Pouvez-vous m'expliquer ce qui ne va pas ? Merci d'avance!

Daphné.

[sos-math(19)]

Bonsoir Daphné,

La fonction est de la forme $u\times{v}$, donc la réponse correcte est le deuxième.

Cependant, l'expression du résultat peut être simplifiée.

Essaye

[Daphné]

Merci beaucoup !
En simplifiant je trouve :
[racine de x(2 racine de x)] + x / 2 racine de x
= (racine de x)² + 2 racine de x + x / 2 racine de x

Est-ce bon ? merci

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
Non je ne crois pas.
Reprenons: $f(x)=x\sqrt{x}$.
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$.
On a $u'(x)=1$ et$v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}$.
Et $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
A vous de remplacer.
Bon courage.

[Daphné]

J'aboutis au même résultat...
Je vous mets le détail de mon calcul :

u(x) = x ; u '(x) = 1
v(x) = racine de x ; v '(x) = 1 / 2 racine de x

u'v + uv' = 1(racine de x) + x[ 1 / ( 2 racine de x )]
= (racine de x) + x / (2 racine de x)

Ensuite je mets au même dénominateur et j'obtiens :

= [racine de x( 2 racine de x)] + x / (2 racine de x) Attention à l'écriture en ligne, il faut placer les parenthèses ou crochets très correctement
= [(racine de x)² + 2 racine de x + x] / (2 racine de x)

Où est mon erreur ?
Merci!