SOS-MATH

Soit ABC un triangle non aplati et H l'orthocentre du triangle ABC.
On définit le point O par l'égalité vectorielle:

\(\vec{HO}=0.5 (\vec{ HA}+\vec{HB}+\vec{HC})\)

1. Montrer que \(AO^2-HO^2=\vec{AH}.(\vec{HB}+\vec{HC}\))

2. En deduire que \(AO^2-HO^2=2\vec{AH}.\vec{HA'}\) où A' est le projeté orthogononal de A sur [BC].

3. Donner les deux égalités analogues à celle de la question 2).

4 Montrer que : \(\vec{AH}.\vec{HA'}=\vec{BH}.\vec{HB'}\)

5. Démontrer que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

6. Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Démontrer que O, H et G sont alignés

Pouvez me donner des pistes pour chaque questions car je ne comprend pas grand chose même apres avoir relu ma leçon

Merci d'avance

Lucas, 1 ere S

Bonjour Lucas,

Tout d'abord merci d'avoir fait l'effort de noter ton énoncé avec les formules en Tex. Il y a malheureusement une erreur dans la page d'aide à ce sujet, la commende overrightarrow ne fonctionne pas mias il suffit d'utiliser \vec{} à la place. (Ne pas oublier \ et on peut tout mettre entre ["tex"] et ["/tex"].)

1. Rappel : \(AO^2=\vec{AO}.\vec{AO}\) En utilisant cette même formule pour HO² puis en remplaçant le vecteur \(\vec{HO}\) par la somme de vecteurs, il devrait te rester du calcul...

2. Cherche une formule qui utilise un projeté orthogonal...

3. On aurait pu faire ce raisonnement avec d'autres points, lesquels ?

Pour la suite on verra plus tard.

Bon courage,

Sos-math

oui j'ai répondu au 3 premieres questions merci de votre aide il me reste donc a faire la 4 ,5,6

merci

Bonsoir Lucas,

Pour la question 4 : quelle est la projection orthogonale du vecteur HB sur la droite (AH) ? Qu'en déduis-tu pour le produit scalaire \(\vec{AH}.\vec{}\vec{HA'}\) ?

Quelle est la projection orthogonale du vecteur <ah sur la droite (HB) ? Poursuit alors la transformation précédemment entamée.

Tu devrais arriver à prouver ainsi que \(\vec{AH}.\vec{HA'}\) = \(\vec{BH}.\vec{HB'}\).

Bonne continuation.