SOS-MATH

Bonsoir,

un exercice de mon DM me pose vraiment problème...

"Trouver une fonction périodique dont la période vaut : (1). Déduizez-en d'autres également : 1-périodiques."

J'ai déjà du mal à prouver qu'une fonction est périodique, mais alors là... Je ne sais même pas ce que signifie 1 "moins périodique"

Je sais qu'une fonction périodique a pour période "2π/ω" mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre...

Merci

Bonsoir Elise

Tu as par exemple, les fonctions sinus et cosinus comme fonctions périodiques, c'est à celles-ci que tu penses quand tu parle de 2pi...
Mais il y en d'autres, par exemple :
- la fonction qui vaut 1 si x est entier et 0 sinon ;
- la fonction qui vaut 1 si x est entier impair, 0 si x est entier pair et qui vaut x - E(x) si x n'est pas entier (E(x) = est la partie entière de x).
Essaie d'inventer toi aussi une fonction de ce type.
Quand tu en as une, le double de cette fonction est-elle aussi périodique ? De la même période ? Que penses-tu de k*f ? De f + k ? ...

Bon courage.

Je suis vraiment désolée mais j'ai beau chercher par tous les moyens, je n'arrive vraiment pas à trouver quelle est "la fonction qui vaut 1 si x est entier et 0 sinon"... Je n'arrive pas à avancer sur cet exercice..
Pourriez-vous me donner des explications supplémentaires? Car je suis complètement larguée... J'ai déjà du mal à comprendre comme prouver la périodicité d'une fonction...

Merci
Elise

Bonsoir,

Ok. Commençons alors par les fonctions périodiques les plus simples : sin ou cos.

Prenons f(x)=sin(x)

Sa période, d'après ton cours, vaut 2pi.

Graphiquement, cela signifie que le motif de la courbe se reproduit à l'identique (copier-coller) sur des intervalles de longueurs 2pi consécutifs.

Par le calcul, cela se traduit par le fait que f(x+2pi)=f(x) pour tout x.

La fonction est dite 2pi-périodique (on lit "deux pi périodique"), c'est à dire de période 2pi.

On te demande une fonction 1-périodique, c'est à dire de période 1.

À l'aide de GeoGebra, définis un curseur a, et représente la fonction f(x)=sin(a*x)

Fais ensuite varier a.

Si a=1, tu retrouve la fonction sinus, de période 2pi.

Et si a=2 ? Si a=3 ?

Pourrais-tu imaginer une valeur de a qui rende la fonction 1-périodique ?
Saurais-tu le prouver ?

Bon courage.