SOS-MATH

Bonjour

ABC est un tiangle quelconque, O est le centre de son cercle circonscrit T( la lettre ressemble à sa ) et G son centre de Gravité A', B', C' sont les milieux respectifs de [BC] [CA] et [AB].

3) Symétriques par rapport aux milieux des cotés.
le but de cette partie est de démontrer que les symétriques de H ( hortocentre démontrez avant dans l'exercice) par rapport aux milieux des cotés des cotés de ABC sont sur le cercle circonscrit T.

Pour cela notons A1 le point diamètralement opposée à A sur T et i le milieu de [HA1]
a) justifier les égalités 2 vecteurs OI = vecteur AH = 2 vecteurs OA' . ??

Merci

Bonjour Charles,

Pour démontrer tes égalités il faut utiliser le théorème des milieux dans un triangle.

Bon courage,
SoSMath.

* Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
* Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d'un triangle, alors la longueur de ce segment est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu
voila ce théorème.
Comment en voyant une droite qui passer par un milieux de deux cotés et qui donc parallèle au troisième cotés peut m'aider a justifiez cette égalité vectorielle je ne vois pas du tout
Merci

Merci Charles pour le théorème, mais je le connais ...

Dans ton triangle AHA1, tu as O mileiu de [AA1] et I milieu de ...
donc d'après le théorème (OI) est parallèle à .... et OI = ....
Il ne reste plus qu'à vérifier le sens de tes vecteurs et tu auras démontrer que \(\vec{OI}\) = ...

Bon courage,
SoSMath.

donc d'après le théorème (OI) est parallèle à (AH) et OI = 1/2[AA1]
Il ne reste plus qu'à vérifier le sens de tes vecteurs et tu auras démontrer que \vec{OI} = 1/2AH=2OA' autrement dit 2OI=AH=2OA'

pour la question B I=A' il suffit juste de regarder l'égalité au dessus. A1 est le symétrique de H par rapport à A' car I autrement dit A1 est le milieu de [HA1]
2) le symétrique de H par rapport à B' sera sur le cercle de même.

J'appellerais x un point sur le cercle dans le triangle AXH C' est le milieu de [HX] donc x serait le symétrique de de H par rapport à C. cependant cela me semble bizarre de placer un point x comme ceci sans justifier sa position
Merci

Le début paraît correct.

Je ne comprends pas ce que tu veux quand tu écris :
"J'appellerais x un point sur le cercle dans le triangle AXH C' est le milieu de [HX] donc x serait le symétrique de de H par rapport à C. cependant cela me semble bizarre de placer un point x comme ceci sans justifier sa position"

SoSMath.

L'on me demande d'indiquer en les justifiant les symétriques de H par rapport a B' et Cq'. concluez

Pour faire sa je placerais une point x sur le cercle circonscrit pour faire un triangle AHX et ainsi utiilisé le théorème des milieux.
si il a a autre moyen de le faire je ne vois pas *Merci

Charles,

Tu viens de montrer que le symétrique de H par rapport à A' était le point diamétralement opposé à A (soit A1).
Pour les mêmes raisons, le symétrique de H par rapport à B' sera le point diamétralement opposé à B !?

SoSMath.

ha oui en effet ^^.

4) Le but de cette partie est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux cotés de ABC sont sur le cercle circonscrit T

1) pour cela, notons k l'autre point d'intersection de (AH) avec T
démontrez que K est le symétrique de H par rapport à (BC)
la je pense que le théorème des triangles ne sert à rien.
A quoi me reporter ?
Merci

Bonsoir Charles,

Pour démontrer que que K est le symétrique de H par rapport à (BC), il faut démontrer que (KH) est perpendiculaire à (BC) et que (BC) coupe [HK] en son milieu.

* (KH) est perpendiculaire à (BC) ? C'est une histoire de hauteur.
*BC) coupe [HK] en son milieu ? Démontre que le triangle HAA1 est rectangle, donc le triangle HKA1 est aussi rectangle. Puis utilise la réciproque de la droite des milieux dans un triangle pour trouver un milieu.

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour

$l'histoire de la hauteur je ne la vois pas désolée.

pour les triangles rectangle est que sa marche si je dis que d'aprés le théorème de pythagore vecteur AA1^2=vecteur AH^2+Vecteur HA1 avec la relation de Chasle j'arrive à AA1=AA1. donc le triangle est rectangle.
ensuite la réciproque je la vois faudrait que je sache si c'est bon avant
Merci

Bonjour

Je reprends la suite, mais je n'arrive pas à comprendre ton message, peux-tu en donner les détails ainsi que tout ce que tu as déjà trouvé.

A plus tard

Bonjour
alors j'ai trouvé que les symétriques de H par rapport aux milieux des côtés de ABC sont sur le cercle de cercle Gama (T)

il y a une photo du cercle et du triangle plus haut.

Maintenant on me demande : Le but de cette partie est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux cotés de ABC sont sur le cercle circonscrit T

1) pour cela, notons k l'autre point d'intersection de (AH) avec T
démontrez que K est le symétrique de H par rapport à (BC)

un de vos collègue ma dit cela :
Pour démontrer que que K est le symétrique de H par rapport à (BC), il faut démontrer que (KH) est perpendiculaire à (BC) et que (BC) coupe [HK] en son milieu.

* (KH) est perpendiculaire à (BC) ? C'est une histoire de hauteur.
*BC) coupe [HK] en son milieu ? Démontre que le triangle HAA1 est rectangle, donc le triangle HKA1 est aussi rectangle. Puis utilise la réciproque de la droite des milieux dans un triangle pour trouver un milieu.
et j'ai répondue ceci :
l'histoire de la hauteur je ne la vois pas désolée.

pour les triangles rectangle est que sa marche si je dis que d'aprés le théorème de pythagore vecteur AA1^2=vecteur AH^2+Vecteur HA1 avec la relation de Chasle j'arrive à AA1=AA1. donc le triangle est rectangle.
ensuite la réciproque je la vois faudrait que je sache si c'est bon avant
Merci

Rebonjour Charles

H est l'orthocentre, c'est donc la point d'intersection des hauteurs, que peux-tu en déduire pour (AH) ? Donc pour (AK) par rapport à (BC) ?
A partir de là, AA1 est un diamètre du cercle et K est sur le cercle que peux-tu en déduire pour l'angle AKA1 ?
Dans le triangle HKA1 tu as deux droites parallèles (perpendiculaires à la même droite) et l'une d'elle passe par le milieu O de HA1 conclus pour Le point d'intersection de (HK) et de (BC).
Tu dois pouvoir finir.

Bonnne continuation

(AH) et perpendiculaire à (BC) donc à AK également car les droites sont confondues.
Angle AKA1 est un angle droit ( je vois pas comment le justifier avec le diamètre )
"l'une d'elle passe par le milieu O de HA1" vous vous êtes pas tromper ? c'est A' a la place de O
pour en revenir si cette droite passer par par le milieu de A' de (HA1) alors sa me prouve la symétrie de H avec K et (BC) ?

merci