SOS-MATH

Bonsoir j'ai un exercice et j'ai besoin d'aide pour le terminer.
Soit l'application f de R\{-5} vers R telle que f(x)=2x-3/(x+5).
1) démontre que f est injective
2) résous dans R \{-5} f(x)=2
3) l'application f est t'elle surjective, bijective ? Justifie ta réponse
Réponse
1) démontrons que l'équation f(x)=y admet au plus une solution dans R\{-5}
Quand je resous l'équation je trouve sauf erreur f(x)=5y+3/(2-y) donc on peut en déduire que f est injective
2) f(x)=2 équivaut à 2x-3=2x+10 quand je ramène tout d'un côté je trouve 0x ce que je ne comprends pas très bien

Bonjour,
quand tu résous \(f(x)=y\), tu arrives à \(x(2-y)=5y+3\) : tu ne peux diviser que si \(2-y\neq 0\).
Donc pour \(y=2\), l'équation n' a pas de solution et pour \(y\neq 2\), l'équation a une seule solution \(x=\dfrac{5y+3}{2-y}\).
Donc au final, l'équation \(f(x)=y\) a au plus une solution donc pour toute valeur de \(y\) de l'ensemble d'arrivée, \(f\) a au plus un antécédent, donc \(f\) est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si \(f(x)=f(x')\) alors \(x=x'\) :
on part de \(\dfrac{2x-3}{x+5}=\dfrac{2x'-3}{x'+5}\).
En calculant les produits en croix et en développant, on a \(2xx'+10x-3x'-15=2xx'-3x+10x'-15\), on peut simplifier et réduire :
\(10x-3x'=-3x+10x'\), qui donne \(13x-13x'=0\) soit \(13(x-x')=0\) donc \(x=x'\).
Pour la suite, l'équation \(f(x)=2\) mène à ce que tu as obtenu \(2x-3=2x+10\) soit en simplifiant \(-3=10\) ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que \(f\) n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, \(f\) n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?

Bonjour. J'ai très bien compris merci beaucoup

Bonjour,
Tant mieux si ces explications t’ont permis de surmonter tes difficultés.
Bonne continuation et à bientôt sur sos math