Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
Bonsoir j'ai un exercice et j'ai besoin d'aide pour le terminer.
Soit l'application f de R\{-5} vers R telle que f(x)=2x-3/(x+5).
1) démontre que f est injective
2) résous dans R \{-5} f(x)=2
3) l'application f est t'elle surjective, bijective ? Justifie ta réponse
Réponse
1) démontrons que l'équation f(x)=y admet au plus une solution dans R\{-5}
Quand je resous l'équation je trouve sauf erreur f(x)=5y+3/(2-y) donc on peut en déduire que f est injective
2) f(x)=2 équivaut à 2x-3=2x+10 quand je ramène tout d'un côté je trouve 0x ce que je ne comprends pas très bien
Soit l'application f de R\{-5} vers R telle que f(x)=2x-3/(x+5).
1) démontre que f est injective
2) résous dans R \{-5} f(x)=2
3) l'application f est t'elle surjective, bijective ? Justifie ta réponse
Réponse
1) démontrons que l'équation f(x)=y admet au plus une solution dans R\{-5}
Quand je resous l'équation je trouve sauf erreur f(x)=5y+3/(2-y) donc on peut en déduire que f est injective
2) f(x)=2 équivaut à 2x-3=2x+10 quand je ramène tout d'un côté je trouve 0x ce que je ne comprends pas très bien
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Re: Généralités sur les fonctions
Bonjour,
quand tu résous f(x)=y, tu arrives à x(2−y)=5y+3 : tu ne peux diviser que si 2−y≠0.
Donc pour y=2, l'équation n' a pas de solution et pour y≠2, l'équation a une seule solution x=5y+32−y.
Donc au final, l'équation f(x)=y a au plus une solution donc pour toute valeur de y de l'ensemble d'arrivée, f a au plus un antécédent, donc f est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si f(x)=f(x′) alors x=x′ :
on part de 2x−3x+5=2x′−3x′+5.
En calculant les produits en croix et en développant, on a 2xx′+10x−3x′−15=2xx′−3x+10x′−15, on peut simplifier et réduire :
10x−3x′=−3x+10x′, qui donne 13x−13x′=0 soit 13(x−x′)=0 donc x=x′.
Pour la suite, l'équation f(x)=2 mène à ce que tu as obtenu 2x−3=2x+10 soit en simplifiant −3=10 ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que f n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, f n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?
quand tu résous f(x)=y, tu arrives à x(2−y)=5y+3 : tu ne peux diviser que si 2−y≠0.
Donc pour y=2, l'équation n' a pas de solution et pour y≠2, l'équation a une seule solution x=5y+32−y.
Donc au final, l'équation f(x)=y a au plus une solution donc pour toute valeur de y de l'ensemble d'arrivée, f a au plus un antécédent, donc f est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si f(x)=f(x′) alors x=x′ :
on part de 2x−3x+5=2x′−3x′+5.
En calculant les produits en croix et en développant, on a 2xx′+10x−3x′−15=2xx′−3x+10x′−15, on peut simplifier et réduire :
10x−3x′=−3x+10x′, qui donne 13x−13x′=0 soit 13(x−x′)=0 donc x=x′.
Pour la suite, l'équation f(x)=2 mène à ce que tu as obtenu 2x−3=2x+10 soit en simplifiant −3=10 ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que f n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, f n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?
Re: Généralités sur les fonctions
Bonjour. J'ai très bien compris merci beaucoup
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Re: Généralités sur les fonctions
Bonjour,
Tant mieux si ces explications t’ont permis de surmonter tes difficultés.
Bonne continuation et à bientôt sur sos math
Tant mieux si ces explications t’ont permis de surmonter tes difficultés.
Bonne continuation et à bientôt sur sos math