SOS-MATH

Bonjour à tous et à toutes.
En classe de 1ère spé maths j'ai étudié les probabilités de manière classique et je n'avais pas de difficultés pour ce chapitre. Mais pour la rentrée un prof nous a donné un exercice qu'il a qualifié de "plus dure".
Je sais que ce n'est pas bien de dire ça mais je n'ai réellement rien compris ne serait-ce que la question et ce que l'on doit vérifier pour la 1ère question.
Serait-il possible de m'aider ou de me guider?
Merci d'avance

Soit p ∈ ]0; 1[, n ∈ N∗. la variable aléatoire X prend les valeurs entières de 0 à n.
1. Vérifier qu’on définit bien une loi de probabilité en prenant :

P(X=k) = \(p(1−p)^{k-1}\) pour 1<=k<=n et P(X=0)=\((1−p)^{n}\).

On posera q = 1 − p.
a. Montrer que E(X) = pf′(q) où f est la fonction définie sur ]0;1[ par f(x)=1+x+x2 +...+xn.

b. Exprimer f(x) sous forme d’un quotient.

c. En déduire une autre expression de f′(x).

d. En déduire que:E(X)=\(\frac{1}{p}\)[1−(1+np)(1−p)\((1-p)^{n}\)]

e. Conjecturer sa limite quand n tend vers +∞.

Bonjour,
une loi de probabilité est la donnée de toute les probabilités des issues d'un univers. Ici, tes issues sont les valeurs \(\Omega = \left\lbrace 0,1,2,\ldots,n\right\rbrace\) et les formules te donnent les probabilités pour chaque élément de cet univers.
En toute rigueur, il faudrait montrer que chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 (facile à vérifier), que la somme des probabilités est égale à 1 (probabilité de l'univers), que la probabilité de l'événement impossible est égale à 0 (évident) et que pour tous événements \(A\) et \(B\) disjoints, la probabilité de \(A\cup B\) est la somme des probabilités de \(A\) et de \(B\).
Le seul point délicat est de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Cette somme est égale à \(S=(1-p)^n+p+p(1-p)+\ldots +p(1-p)^{n-1}=(1-p)^n+p\left[1+(1-p)+(1-p)^2+\ldots +(1-p)^{n-1}\right]\)
Tu devrais reconnaître à droite, dans les crochets, la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison \(q=1-p\), tu as dû voir une formule qui calcule cela. Et cela devrait simplifier ton expression.
Pour la suite, si tu reprends la formule de l'espérance d'une variable aléatoire, tu as \(E(x)=0\times (1-p)^n+1\times p+2\times p(1-p)+\ldots + n\times p(1-p)^{n-1}\).
Si tu regardes ensuite la fonction proposée \(f(x)=1+x+x^2+\ldots x^n\), que tu la dérives \(f'(x)=1+2x+3x^2+\ldots nx^{n-1}\),
Tu vois bien qu'en multipliant par \(p\), tu as \(pf'(x)=p+2px+3px^2+\ldots+npx^{n-1}\) et qu'en remplaçant \(x\) par \(q=1-p\), on a bien l'expression de l'espérance.
Je te laisse faire ces calculs.
Bonne continuation