SOS-MATH

Bonsoir.

Un exercice avec lequel j'ai des difficultés nous a été donné comme devoir à rendre. Voici l'énoncé :

Soit a un réel et fa la fonction définie sur R par :
fa(x) = 2*|4-ax|
Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la courbe représentative de fa admet au moins une tangente à la droite d'équation y=x?

J'ai essayé plusieurs démarches différentes qui m'ont toutes fait douter. Voici ce que j'ai fait pour l'instant :

• J'ai mis 2^|4-ax| sous une autre forme, ce qui m'a donné 2ax - 8 (je butte sur la valeur absolue)
• J'ai calculé la dérivée de cette fonction en suivant la propriété que pour qu'une tangente soit parallèle à une droite, il faut que la dérivée de la fonction soit égale au coefficient directeur de cette droite (elle m'était inconnue, je l'ai trouvé sur internet)
• J'ai obtenu fa'(x) = 2a (je butte aussi sur la dérivée à cause de a)

Pouvez-vous m'aider en me disant si la démarche que j'ai prise est la bonne ? Si je suis sur le bon chemin ?

Merci d'avance aux personnes qui auront la gentillesse de me répondre.

Bonjour,
as-tu essayé de tracer la courbe de la fonction \(f_a\) pour des valeurs particulières de \(a\) ?
la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_a(x)=2|4-ax|\) a pour courbe représentative :

• si \(a=0\), c'est une fonction constante égale à 8 donc représentée par une droite horizontale passant par l'ordonnée 8 donc pas de tangente parallèle à \(y=x\)
• si \(a>0\), la fonction est définie par deux fonctions affines : \(f_a(x)=-2ax+8\) sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{4}{a}\right] \) et \(f_a(x)=2ax-8\) sur \(\left[\dfrac{4}{a}\,;\,+\infty\right[\)
• si \(a<0\), la fonction est définie par deux fonctions affines : \(f_a(x)=2ax-8\) sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{4}{a}\right] \) et \(f_a(x)=-2ax+8\) sur \(\left[\dfrac{4}{a}\,;\,+\infty\right[\)

Donc, tout cela pour dire que ta fonction est composée de fonctions affines et qu'il suffit de regarder les coefficients directeurs de celles-ci pour savoir s'ils peuvent être égaux à celui de \(y=x\) pour certaines valeurs de \(a\).
Je te laisse conclure.

sos-math(21) a écrit : ↑

ven. 4 mars 2022 07:24

Bonjour,
as-tu essayé de tracer la courbe de la fonction \(f_a\) pour des valeurs particulières de \(a\) ?
la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_a(x)=2|4-ax|\) a pour courbe représentative :

• si \(a=0\), c'est une fonction constante égale à 8 donc représentée par une droite horizontale passant par l'ordonnée 8 donc pas de tangente parallèle à \(y=x\)
• si \(a>0\), la fonction est définie par deux fonctions affines : \(f_a(x)=-2ax+8\) sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{4}{a}\right] \) et \(f_a(x)=2ax-8\) sur \(\left[\dfrac{4}{a}\,;\,+\infty\right[\)
• si \(a<0\), la fonction est définie par deux fonctions affines : \(f_a(x)=2ax-8\) sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{4}{a}\right] \) et \(f_a(x)=-2ax+8\) sur \(\left[\dfrac{4}{a}\,;\,+\infty\right[\)

Donc, tout cela pour dire que ta fonction est composée de fonctions affines et qu'il suffit de regarder les coefficients directeurs de celles-ci pour savoir s'ils peuvent être égaux à celui de \(y=x\) pour certaines valeurs de \(a\).
Je te laisse conclure.

Merci infiniment pour votre aide, elle m'a été très utile. Passez une bonne journée/soirée. Merci encore.

Bonjour,
tant mieux si mon aide t'a permis de conclure.
Juste un rappel : il n'est pas nécessaire de citer le message pour y répondre.
Bonne continuation