Approximations affines
Approximations affines
Soit f (x)=√x et on pose x=h+1. Pour |x|<1 montrer que |√(1+h) - (1+h/2)|< h²/2 où 1+h/2 est une approximation affine de f au voisinage de 0.
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Re: Approximations affines
Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
Re: Approximations affines
Pourquoi h>0 ?sos-math(21) a écrit : ↑sam. 8 janv. 2022 19:33Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
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Re: Approximations affines
Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
Re: Approximations affines
Bonsoir professeur.
Merci d'avoir accordé du temps à mon exercice. Toute fois, j'ai bien appris de votre démonstration.
Je voulais aussi m'excuser par rapport à mon manque de courtoisie dans le formulation de la demande.
Cordialement.
Merci d'avoir accordé du temps à mon exercice. Toute fois, j'ai bien appris de votre démonstration.
Je voulais aussi m'excuser par rapport à mon manque de courtoisie dans le formulation de la demande.
Cordialement.
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Re: Approximations affines
Bonjour,
pas de problème, l'important est que tu aies compris.
Bonne continuation
pas de problème, l'important est que tu aies compris.
Bonne continuation
Re: Approximations affines
Par contre, j'ai pas compris pourquoi x>=-1.?sos-math(21) a écrit : ↑sam. 8 janv. 2022 21:22Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
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Re: Approximations affines
Bonjour,
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
Re: Approximations affines
D'accord merci.sos-math(21) a écrit : ↑ven. 14 janv. 2022 13:27Bonjour,
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
Mais du coup on trouve |rc(1+x)-(1+x^2/2)|<x^2/8 mais non x^2/2 ?
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Re: Approximations affines
Oui, c'est bien cela,
je m'étais corrigé dans un message précédent et on aura bien \(\dfrac{h^2}{2}\) à la fin conformément à ce qui était demandé :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
on a
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{4}\times 2\) soit :
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{2}\).
Bonne continuation
je m'étais corrigé dans un message précédent et on aura bien \(\dfrac{h^2}{2}\) à la fin conformément à ce qui était demandé :
donc en reprenant l'inégalité :Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
on a
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{4}\times 2\) soit :
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{2}\).
Bonne continuation