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Equation dans C Maths Expertes

Posté : lun. 7 sept. 2020 06:09
par Aliyah
Bonjour j’ai besoin d’aide pour résoudre dans C les équations suivantes :


z**2 - 4i =0

z**2 + 16i =0


Merci

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : lun. 7 sept. 2020 11:10
par sos-math(21)
Bonjour,
dans le corps des complexes, une équations de la forme \(z^2=a\) a toujours des solutions : 1 solution si \(a=0\) et deux solutions si \(a\neq 0\).
Il s'agit ensuite de trouver ces solutions.
En l'absence de méthode générale, tu peux essayer de revenir dans le corps des réels en posant \(z=x+iy\) et en identifiant partie réelle et partie imaginaire de cette équation :
\(z^2-4i=0\) est équivalente à \((x+iy)^2-4i=0\) soit en développant \(x^2-y^2+i(2xy-4)=0\) ce qui te donne deux équations (partie réelle égale à 0 et partie imaginaire égale à 0) :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&0\\2xy-4&=&0\end{array}\right.\)
Il restera ensuite à envisager les cas \(x=y\) ou \(x=-y\) issus de la première équation.
Pour accompagner ta résolution, tu peux consulter la vidéo suivante : https://youtu.be/pJ3ljln3xx0
Bonne continuation

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 9 sept. 2020 12:05
par Aliyah
Merci beaucoup , j’ai du mal a trouver la valeur de x et de y

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 9 sept. 2020 12:35
par Aliyah
J’ai aussi besoin d’aide pour les consignes ci - dessous :

1 . Démontrez que pour tout nombre complexe z , on a z appartenant à R , équivalent à z = z (barre)
2. Démontrez que tout nombre complexe z , on a z appartenant à la partie imaginaire de z , équivalant à z=-z (barre)

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 9 sept. 2020 13:10
par sos-math(21)
Bonjour,
Pour la résolution de l'équation \(z^2-4i=0\)
Tu as \(x^2=y^2\) donc \(x=y\) ou \(x=-y\).
  • Si \(x=y\), l'équation (2) devient \(2x^2-4=0\) donc \(x^2=2\) soit \(x=\sqrt{2}=y\) ou \(x=-\sqrt{2}=y\).
    on a donc deux solutions \(z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) et \(z_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\)
  • Si \(x=-y\), l'équation (2) devient \(-2x^2-4=0\) soit \(x^2=-2\) qui n'a pas de solution.
Il y a donc deux "candidats" solutions et il faut vérifier que ces deux candidats sont bien solutions en calculant leur carré :
on a bien \(z_1^2=(\sqrt{2}+i\sqrt{2})^2=2+4i-2=4i\) et \(z_2^2=(-z_1)^2=z_1^2=4i\).
On a alors trouvé toutes les solutions.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 9 sept. 2020 13:18
par sos-math(21)
Bonjour,
je réponds à la question concernant les conjugués :
tu peux partir de l'écriture algébrique d'un complexe : \(z=x+iy\) et dans ce cas \(\bar{z}=x-iy\).
on a donc les équivalences suivantes : \(\require{cancel} z=\bar{z}\Longleftrightarrow \cancel{x}+iy=\cancel{x}-iy\Longleftrightarrow iy=-iy\Longleftrightarrow 2iy=0\Longleftrightarrow y=0\Longleftrightarrow z \text{ est réel}\)
Je te laisse faire le même type d'équivalence avec le fait que \(z\) soit imaginaire pur :
\(\require{cancel}\bar{z}=-z\Longleftrightarrow x\cancel{-iy}=-x\cancel{-iy}\Longleftrightarrow\ldots\)
Bonne continuation

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 16 sept. 2020 14:18
par Aliyah
Merci beaucoup pour votre aide

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 16 sept. 2020 14:19
par sos-math(21)
Bonjour,
merci pour ton retour.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 30 sept. 2020 13:27
par Aliyah
Bonjour , j’ai un autre exercice à faire , je dois rédoudre cette équation dans C : 1 + z + z**2 + z**3 + z**4 + z**5 =0

Je pense que je dois la transformer en une équation du 2nd degré pour pouvoir résoudre car nous avons pas encore vu les equations du 3eme degré et autres en classe.

Re: Equation dans C Maths Expertes

Posté : mer. 30 sept. 2020 14:21
par SoS-Math(33)
Bonjour,
une petite aide de démarrage :
\(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = 1+z+z^2(1+z)+z^4(1+z)= (1+z)(1+z^2+z^4)\)
donc \(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = 0\) donne \((1+z)(1+z^2+z^4) = 0\)
on doit résoudre \(1+z=0\) et \(1+z^2+z^4=0\), pour cette équation on fait un changement de variable en posant \(y=z^2\) ce qui donne une équation du second degré.
Comprends tu?
Je te laisse poursuivre
SoS-math