SOS-MATH

Bonjour.
Voici l'énoncé:
"Un particulier doit 400 000 florins, dont il est convenu de payer tous les ans l'intérêt à 5% ; il acquitte tous les ans 25 000 florins ; on demande après combien d'années sa dette sera entièrement éteinte"

Il s'agit du 2) de mon exercice.
Dans le 1), j'ai trouvé que u(n) = 400 000 x 1,05^n
Je crois qu'il s'agit du prix total à payer en fonction de n année, avec les intérêts.
u(n+1) = 1,05 u(n) - 25000
Je dois résoudre une inéquation concernant u(n), mais laquelle ?
Pouvez-vous m'aider ?
lucas

Bonjour lucas,

J'aimerais voir le début de cet exercice, et je n'ai pas réussi à le retrouver. Essaie de ne pas couper les exercices comme celà ou alors de donner la référence du début.
J'attends une réponse et vérifie bien l'exactitude de l'énoncé, car la phrase "dont il est convenu de payer tous les ans l'intéret à 5%" me semble pas très claire.

Sosmaths

Voici l'énoncé détaillé :
1) On considère la suite (Un) définie par : U0 = 400 000
et U(n+1) = 1,05 Un -25 000
a) La suite est-elle géométrique ? arithmétique?
b) On pose Vn = Un - 500 000
Démontrer que Vn est géométrique. En déduire l'expression de Vn, puis de Un en fonction de n.

2) Utiliser les résultats précédents pour résoudre le problème suivant :
"Un particulier..."

***

1)b) Pour démontrer que Vn est géométrique je vais exprimer V(n+1) en fonction de Vn
Vn = Un - 500 000
donc V(n+1) = U(n+1) - 500 000
Or U(n+1) = 1,05 Un -25 000
Donc V(n+1) = 1,05 Un -25 000 - 500 000
V(n+1) = 1,05 Un - 525 000

Je sais que Vn = Un - 500 000
donc Un = Vn + 500 000
On a alors V(n+1) = 1,05(Vn + 500 000) -525 000
V(n+1) = 1,05 Vn

V0=U0 - 500 000
V0 = -100 000
Vn = V0 x q^n (formule)
Vn = -100 000 x 1,05^n

Un = Vn + 500 000
Un = 100 000 x 1,05^n + 500 000
Un = 400 000 x1,05^n

2) ?
Désolé c'est du charabia.
lucas

Pas de réponse ?

EDIT DE MODERATEUR :
Répondre sur le forum n'est pas notre métier, nous avons un métier par ailleurs.
Soyez donc patient, et sachez attendre plus d'une heure avant une réponse.
Vous pouvez considérer que le temps devient long au bout de 48 heures sans réponse.

à bientôt.

Bon , c'est mieux je vois le pb dans son ensemble.

On va appeler W0 la somme empruntée, donc due.
On va appeler W1 la somme due au bout d'un an , juste après le 1er remboursement.
W1 est constituée de la somme W0, qui a produit des intérets pendant 1 an. Elle est donc devenue 1,05.W0. A ce montant il faut retirer le remboursement de 25000 euros.
On a donc W1=1,05.W0-25000

On appelle Wn la somme due après le nème remboursement , donc après exactement n années.
En faisant le même raisonnement que précédemment( rédige le ), on obtient :

Wn=1,05.W(n-1)-25000.


Donc Wn est la dette après n années, et on veut que Wn=0 puisque l'on cherche n telle que la dette est éteinte donc nulle.

Tu vas te servir de tes résultats précédents pour trouver mais attention , le résultat trouvé pour Un à la question 1 est faux. Pour Vn c'est juste. N'essaie pas de simplifier mais n'oublie pas le - devant 100000.

sosmaths

Bonjour
Correction de Un :
Un = - 100 000 x 1,05^n + 500 000
Un = 400 000 x1,05^n (je ne vois pas pourquoi ce résultat est faux. On a bien Un = U0 x q^n)

Il faut que Wn = 0
1,05.W(n-1)-25000 = 0
1,05.W(n-1) = 25000
Je ne vois pas le lien qu'il y a avec mes résultats précédents...
Merci pour votre aide
lucas

Bonjour,

Un = - 100 000 x 1,05^n + 500 000
Un = 400 000 x1,05^n

Ce calcul est faux.
Un n'est pas une suite géométrique, c'est Vn qui est géométrique

Quand au 2) La somme due au bout de n années est Un. Donc vous avez à résoudre Un = 0
cad - 100 000 x 1,05^n + 500 000 =0
A vous de continuer.