DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour Yann,
Ton dernier message comporte des erreurs de calculs
Puisque tu souhaites reprendre la double distributivité, je me base sur ton calcul précédent :
\(x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)= \left(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) -\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)
simplifie chacun des produits : Attention, pour multiplier deux quotients, tu multiplies les numérateurs entre eux d'une part, et les dénominateurs entre eux d'autre part.
par ailleurs, \(\sqrt{x}*\sqrt{x} = x\) pour tout réel x.
Continue tes calculs avec les aides que je viens d'indiquer : lis-les très attentivement pour finir ton calcul.
Bonne recherche
Ton dernier message comporte des erreurs de calculs
Puisque tu souhaites reprendre la double distributivité, je me base sur ton calcul précédent :
\(x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)= \left(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) -\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)
simplifie chacun des produits : Attention, pour multiplier deux quotients, tu multiplies les numérateurs entre eux d'une part, et les dénominateurs entre eux d'autre part.
par ailleurs, \(\sqrt{x}*\sqrt{x} = x\) pour tout réel x.
Continue tes calculs avec les aides que je viens d'indiquer : lis-les très attentivement pour finir ton calcul.
Bonne recherche
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour sos math (34)
\((-b) \times (-b) = ...\)
pour l'addition (-) plus (-) donne + mais pour la multiplication ?
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\((-b) \times (-b) = ...\)
pour l'addition (-) plus (-) donne + mais pour la multiplication ?
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Attention tu confonds deux cas différents :
* pour la multiplication :le produit de deux réels négatifs est positif.
exemple : (-2)*(-3)= 6
cette règle de calcul doit te permettre de simplifier (-b)*(-b)
* pour la somme : la somme de deux réels négatifs est négative.
exemple: (-2) + (-3) = -5 (si tu perds 2 euros, puis 3 euros ensuite, alors tu en as … perdu 5)
* pour la multiplication :le produit de deux réels négatifs est positif.
exemple : (-2)*(-3)= 6
cette règle de calcul doit te permettre de simplifier (-b)*(-b)
* pour la somme : la somme de deux réels négatifs est négative.
exemple: (-2) + (-3) = -5 (si tu perds 2 euros, puis 3 euros ensuite, alors tu en as … perdu 5)
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
premier quotient
\(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b²}{4a²}\)
\(2a = 2\times a\)
\(2a \times 2a = (2\times a ) \times (2 \times a)\)
deuxième quotient
\(- \frac{b}{2a} \times \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)
troisième quotient
\(- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)
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\(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b²}{4a²}\)
\(2a = 2\times a\)
\(2a \times 2a = (2\times a ) \times (2 \times a)\)
deuxième quotient
\(- \frac{b}{2a} \times \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)
troisième quotient
\(- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonsoir Yann,
C'est bien cela. Tu peux ainsi terminer la simplification.
SoSMath
C'est bien cela. Tu peux ainsi terminer la simplification.
SoSMath
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonsoir sos math (30)
est ce que j'ai le droit d'écrire
\(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) + \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)
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est ce que j'ai le droit d'écrire
\(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) + \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour Yann,
Oui, tu as le droit d'écrire cela !
C'est juste la règle d'addition des fractions : \(\frac{a}{c}+ \frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\).
SoSMath.
Oui, tu as le droit d'écrire cela !
C'est juste la règle d'addition des fractions : \(\frac{a}{c}+ \frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\).
SoSMath.
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Yann,
tu peux même écrire : \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\).
C'est mieux pour développer … car tu peux reconnaitre a² - b².
SoSMath.
tu peux même écrire : \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\).
C'est mieux pour développer … car tu peux reconnaitre a² - b².
SoSMath.
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour sos math (9)
\(\quad\left[\left(\frac{-b}{2a}\right) \quad-\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \quad \times \quad \left[\left(\frac{-b}{2a}\right)\quad +\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)
\(\quad\quad\left(\quad A \quad - \quad B \quad\right) \quad \times \quad\left(\quad A \quad + \quad B\quad \right)\quad = \quad A^2 - B^2\)
\(A = \left(\frac{-b}{2a}\right) \quad => \quad A^2 = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2\) \(\quad\quad \quad B = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \quad= >\quad B^2 = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}\)
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\(\quad\left[\left(\frac{-b}{2a}\right) \quad-\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \quad \times \quad \left[\left(\frac{-b}{2a}\right)\quad +\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)
\(\quad\quad\left(\quad A \quad - \quad B \quad\right) \quad \times \quad\left(\quad A \quad + \quad B\quad \right)\quad = \quad A^2 - B^2\)
\(A = \left(\frac{-b}{2a}\right) \quad => \quad A^2 = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2\) \(\quad\quad \quad B = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \quad= >\quad B^2 = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour yann,
ce que tu écris est correct, tu peux aussi écrire : \(A^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)
ce que tu écris est correct, tu peux aussi écrire : \(A^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonjour
Est-il possible de revenir sur le début du sujet ?
Je pensais y arriver seul, parce que ça a l'air facile mais en rédigeant je me rends compte que j'ai encore besoin d'aide.
L'aide disponible sur votre site est le seul moyen pour moi d'y arriver
énoncé : Dans cet exercice, on veut étudier l'existence des solutions \(\left(u,v \right)\in R_{2}\) du système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)
ou \(S\) et \(P\) sont des réels donnés. On commence dans les 3 premières questions par étudier le cas particulier où S = 3/2 et P =1/2
puis on traitera le cas général
Cas particulier.
1 ) Montrer que les fonctions polynômes \(f_1 (x)\) et \(f_2(x)\) définies pour tout \(x \in R\) par \(f_1(x) = 2x² - 3x + 1\) et \(f_2(x) = x - 3/2x + 1/2\) ont les mêmes racines. Les calculer
2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez vous ? on pourra comparer les valeurs obtenues avec les coefficients des polynômes \(f_1\) et \(f_2\) ainsi que étudier les liens possibles avec \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)
3 ) déterminer toutes les solutions de \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) quand \(S = 3/2\) et \(P = 1/2\)
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Est-il possible de revenir sur le début du sujet ?
Je pensais y arriver seul, parce que ça a l'air facile mais en rédigeant je me rends compte que j'ai encore besoin d'aide.
L'aide disponible sur votre site est le seul moyen pour moi d'y arriver
énoncé : Dans cet exercice, on veut étudier l'existence des solutions \(\left(u,v \right)\in R_{2}\) du système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)
ou \(S\) et \(P\) sont des réels donnés. On commence dans les 3 premières questions par étudier le cas particulier où S = 3/2 et P =1/2
puis on traitera le cas général
Cas particulier.
1 ) Montrer que les fonctions polynômes \(f_1 (x)\) et \(f_2(x)\) définies pour tout \(x \in R\) par \(f_1(x) = 2x² - 3x + 1\) et \(f_2(x) = x - 3/2x + 1/2\) ont les mêmes racines. Les calculer
2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez vous ? on pourra comparer les valeurs obtenues avec les coefficients des polynômes \(f_1\) et \(f_2\) ainsi que étudier les liens possibles avec \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)
3 ) déterminer toutes les solutions de \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) quand \(S = 3/2\) et \(P = 1/2\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Yann,
que veux-tu exactement ?
tu as \(u+v=S\) donc \(v = S - u\).
On remplace dans la 2ème équation : \(u(S-u) = P\) soit \(u^2-Su+P=0\).
c'est une équation du second degré que tu peux résoudre en calculant le discriminant ...
SoSMath.
que veux-tu exactement ?
tu as \(u+v=S\) donc \(v = S - u\).
On remplace dans la 2ème équation : \(u(S-u) = P\) soit \(u^2-Su+P=0\).
c'est une équation du second degré que tu peux résoudre en calculant le discriminant ...
SoSMath.
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
\(u + v = S => v = S - u\)
\(u (S - u) = P\)
\(- u² + S u = P => - u² + Su - P = 0 => u² -Su + P = 0\)
a = u
b = -S
c = P
\(\Delta = b² - 4 ac = (-1)² - 4 \times (-1) \times 1 = 1 + 4 = 5\)
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)
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\(u (S - u) = P\)
\(- u² + S u = P => - u² + Su - P = 0 => u² -Su + P = 0\)
a = u
b = -S
c = P
\(\Delta = b² - 4 ac = (-1)² - 4 \times (-1) \times 1 = 1 + 4 = 5\)
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Yann,
Si tu prends f2(x)=x²−3/2x+1/2.
a =1 et non u...
b = -S = -3/2
c = P = 1/2.
SoSMath.
Si tu prends f2(x)=x²−3/2x+1/2.
a =1 et non u...
b = -S = -3/2
c = P = 1/2.
SoSMath.
Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2
Bonsoir Sos math (9)
je ne fais pas le lien entre le système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) et la fonction polynôme \(f_2(x) = x - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)
je vais chercher de mon coté, je passe beaucoup de temps à chercher depuis mercredi, à mon niveau ça devrait être terminé mais je fais beaucoup d'efforts pour comprendre.
Pouvez vous me laisser trouver en me faisant chercher avec des questions ?
parfois cela m'aide à réfléchir et à trouver ..
D'avance merci
yann
je ne fais pas le lien entre le système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) et la fonction polynôme \(f_2(x) = x - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)
je vais chercher de mon coté, je passe beaucoup de temps à chercher depuis mercredi, à mon niveau ça devrait être terminé mais je fais beaucoup d'efforts pour comprendre.
Pouvez vous me laisser trouver en me faisant chercher avec des questions ?
parfois cela m'aide à réfléchir et à trouver ..
D'avance merci
yann