DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

[SoS-Math(9)]

Yann,

On a montré que le système \(\begin{cases} & u+v=S \\ & uv=P \end{cases}\) était équivalent à \(\begin{cases} & v=S-u \\ & u^2-Su + P = 0 \end{cases}\).
Peut-être que cela va t'aider ?

SoSMath.

[yann]

Bonjour,


à la question 1°) montrer que les polynômes \(f_1\) et \(f_2\) définies pour tout \(x \in R\) par \(f_1 = 2x^2 - 3x + 1\)

et par \(f_2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) ont les mêmes racines

Le calcul montre que les racines des deux polynômes sont bien \(1\quad\) et \(\quad \frac{1}{2}\)

mais je ne vois pas comment prouver que \(2x^2 - 3x + 1\) et \(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) ont les mêmes racines

-

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
je comprends pas bien ta question.
Tu as trouvé les mêmes racines aux deux polynômes donc tu as répondus à la question.

[yann]

Bonjour sos math

pour la 1 ) j'ai bien trouvé les mêmes valeurs pour les 2 polynômes mais le professeur nous a dit que ce n'était pas , selon lui, une réponse suffisante car il faut démontrer, je vais encore chercher

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour prouver que les deux polynômes ont les mêmes racines, tu peux aussi prouver que tes deux fonctions sont proportionnelles, c'est à dire qu'il existe un nombre réel \(k\) tel que \(f_1=k\times f_2\).
Quand tu regardes les coefficients des deux polynômes, tu trouves facilement le nombre \(k\).
Cela prouve que les polynômes ont les mêmes racines car \(\alpha\) est une racine de \(f_1\) signifie que \(f_1(\alpha)=0\) ce qui est équivalent à \(k\times f_2(\alpha)=0\) ce qui est équivalent à \(f_2(\alpha)=0\) ce qui est équivalent au fait que \(\alpha\) est aussi une racine de \(f_2\).
On ne peut pas dire beaucoup plus...
Bonne continuation

[yann]

Bonsoir sos math (21)

j'ai factoriser \(2x² - 3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]\)

ainsi il existe un réel \(k = 2\) tel que \(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)

est-ce que c'est suffisant pour démontrer la proportionnalité ?

[yann]

Bonsoir

j'ai souvent des difficultés pour la rédaction , ( pour être sur ) je propose:

\(f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1\)

\(f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}\)


comme \(2x^2 - 3x + 1 = 2 \left[x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]\) alors je peux écrire que \(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)


\(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(f_1(x)\)


donc \(f_1(x) = 0\)


\(f_1(x_1) = 0\)<=>\(2(x_1)^2 - 3(x_1) + 1 = 0\) <=> \(2\left[x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2} \right] = 0\) <=> \(x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2} = 0\)<=> \(f_2(x) = 0\)


c'est peut-etre un peu long comme démonstration, qu'en pensez - vous ?
-

[SoS-Math(31)]

Bonjour yan

Bonsoir sos math (21)

j'ai factoriser \(2x² - 3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]\)

ainsi il existe un réel \(k = 2\) tel que \(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)

est-ce que c'est suffisant pour démontrer la proportionnalité ?

Oui, l'égalité est vraie pour tout x, donc il y a proportionnalité.

[SoS-Math(31)]

x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f2(x) = 2 f1(x) = 0 donc à x est racine de f2

[yann]

Bonsoir sos math (31)



on a \(f1(x) = 2x^2 - 3x + 1\) et \(f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2} x+ \frac{1}{2}\)

et vous avez mis : x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f2(x) = 2 f1(x) = 0 donc à x est racine de f2

ce n'est pas plutôt : x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f1(x) = 2 f2(x) = 0 donc x est racine de f2

[SoS-Math(34)]

Bonjour Yann

vu tes notations pour f1 et f2 et sachant que f1(x) = 2f2(x) pour tout réel x :
"x est racine de f2 si et seulement si f2(x) = 0 ce qui équivaut à f1(x) = 2*f2(x) = 0 donc x est racine de f1"

Bonne recherche
sosmaths

[yann]

Bonjour Sos math (34)

dans l'énoncé , c'est \(f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1\)

et \(f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)

[yann]

-

je dois arrivé à \(f_1(x) = 0\) <=> \(f_2(x) = 0\)

si je pars de \(f_1(x) = 0\)

il faut que j'indique la raison pour laquelle \(f_1(x) = 0\)

c'est à dire que \(x_1\) et \(x_2\) sont bien les racines

donc ça c'est (un peu) ce que je qualifie de première étape


ensuite j'ai pensé écrire \(2x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0\)<=> \(2 \times \left[x_1^2 - \frac{3}{2} x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0\) <=> \(f_2(x_1) = 0\)

donc \(f_2(x)\) a la même racine que \(f_1(x)\)


je ne sais pas ce que vous en pensez ?
-

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
ce que tu écris est tout à fait correct, mais faut le faire dans le cas génèral.
Tu as montré que \(x_1\) et \(x_2\) sont les solutions de \(f_1(x)\) maintenant il suffit d'écrire :

\(f_1(x)=0\) <=> \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)<=> \(2 \times \left[x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}\right] = 0\) <=> \(f_2(x) = 0\)

donc \(f_2(x)\) a les mêmes racines que \(f_1(x)\)

[yann]

-

\(f_1(x)= 0 \quad ....\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad.....\) \(\quad f_2(x)= 0\)


tout ce qu'il y a entre les , c'est ce qui sert à démontrer la proportionnalité des deux fonctions, enfin c'est ce dont parler sos math (21) un peu plus haut


-