DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

[SoS-Math(33)]

Oui ça montre la proportionnalité des deux fonctions et ainsi qu'elles ont les mêmes racines.

[yann]

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je sais que j'insiste beaucoup mais dans les démonstrations, je m'y perds à chaque fois

en fait je suis ce plan

étape 1 :
la fonction \(f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1 = 0\)

étape 2 :
je dis que \(f_1(x)\) c'est aussi \(2 \times f_2(x)\)

étape 3 :

je reconnais \(f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) dans le développement enfin je ne sais pas si je peux employer ce terme : " je reconnais dans le développement "


et j'en déduis etc....

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[SoS-Math(33)]

Oui,
étape 1 tu résous \(f_1(x)=0\)
étape 2 tu remarques que \(f_1(x)=2f_2(x)\)
étape 3 tu rédiges la phrase avec les équivalences
étape 4 tu conclus.

[yann]

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étape 1

\(\quad x_1, \quad x_2\) sont les racines de \(f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1\)


étape 2

\(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)

ainsi \(2 \times f_2(x_1) <=> 2 \times \left(x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right) = 0\)

étape 3

je rédige la phrase avec les équivalences

\(2 \times \left(x_1^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\right) = 0\) <=> \(x_1^2 - \frac{3}{2} x_1 + \frac{1}{2} = 0\) <=> \(f_2(x_1) = 0\)

donc \(x_1\) est bien racine de \(f_2(x)\)


pareil avec \(x_2\)

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[SoS-Math(34)]

Quelques détails :

2*f2(x1) = 0 dans l'équivalence de l'étape 2.
il manque l'indice 1 à un endroit dans l'étape 3, x1 et pas x.

Tu as compris sinon, mais tu pouvais faire plus simple, comme indiqué à quelques reprises précédemment, notamment en mettant des x partout à la place de x1, ce qui indique que tes équations sont équivalentes et donc ont les mêmes racines (solutions)

[yann]

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oui, je sais , je peux faire plus simple en mettant \(x\) partout

là, en fait j'essaie de prendre des automatismes, comme j'ai un peu le temps aujourd'hui

étape 1 : je remarque que \(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)

\(2x_2 - 3x + 1 = 2 \left(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\right)\)

Donc \(f_1(x) = 2 \times f_2(x)\)

étape 2 :

\(x_1, \quad x_2\) sont bien les racines de \(f_1(x)\)


étape 3 :


donc \(2 \times \left(x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right) = 0\) <=> \(\left(x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right) = 0\)<=>\(f_1(x_1) = 0\) et j'en déduis que \(x_1\) est également racine de \(f_2(x)\)


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[SoS-Math(34)]

si tu veux rédiger ainsi, cela fonctionne.

bonne continuation.

[yann]

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pour la 2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\) des polynômes ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u \times v = P \end{vmatrix}\)

pour le premier cas \(2x^2 - 3x +1\)

a = 1
b = -3
c = 1

pour trouver \(\frac{3}{2}\) avec les lettres a,b et c et bien j'ai dit qu'il faut prendre \(- b\)

mais là, encore je sais pas trop ce que le professeur attend comme réponse

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[SoS-Math(34)]

a n'est pas égal à 1...
calcul x1 + x2 somme des racines.tu pourras conjecturer une formule qui donne x1+x2 avec certains des coefficients a,b,c
calcule x1*x2 produit des racines. tu pourras conjecturer une formule qui donne x1*x2 avec certains des coefficients a,b,c
Pour le reste, plusieurs pistes ont déjà été données dans les post précédents.
je t'invite à les relire attentivement.

bonne recherche
sosmaths

[SoS-Math(34)]

En complément la vidéo suivante peut t'aider (pour vérifier les calculs de la suite de l'exercice)
https://www.youtube.com/watch?v=_dh-VBbBIiQ

[yann]

Bonjour Sos math (34 )

Je vous remercie pour l'aide , pour la vidéo , très pédagogique !!!

L'aide disponible sur votre site a été le seul moyen pour moi de rendre mon DM, merci à sos math( 33) à sos math (31) à sos math (9) pour l'aide.




pour la 2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\)
et ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\)


j'ai mis : les coefficients de \(2x^2 - 3x + 1\) c'est à dire les coefficients \(b = - 3\) et \(a = 1\) ne permettent pas d'avoir la somme

et la somme s'obtient en faisant : \(- \frac{b}{a}\)

\(a = 2, b = -3 \quad \quad\) alors \(\quad -\frac{b}{a} = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{2} = \frac{3}{2}\)


j'espère que c'est bon
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[SoS-Math(34)]

Bonjour Yann,

Précise d'abord la valeur de x1 + x2 et calcule ensuite -b/a en effet.
Tu constates que tu as le même résultat donc tu peux émettre une conjecture.
La suite de l'exercice concerne la démonstration pour la somme et le produit.

Bonne suite de recherche
Sosmaths

[yann]

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oui, je trouve \(x _1 + x_2 = \frac{3}{2}\quad\quad\)\(a = 2, b = -3 \quad \quad\)\(-\frac{b}{a} =\frac{3}{2}\)

je constate que j'ai le même résultat

Ainsi :

\(x_1 + x_2 = \frac{3}{2}\) <=> \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)


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[SoS-Math(30)]

Bonsoir Yann,

C'est bien cela. Tu obtiens la conjecture : \(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)

SoSMath