DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

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SoS-Math(34)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » ven. 5 oct. 2018 16:38

Bonjour Yann,

Ton dernier message comporte des erreurs de calculs
Puisque tu souhaites reprendre la double distributivité, je me base sur ton calcul précédent :

\(x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)= \left(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) -\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)

simplifie chacun des produits : Attention, pour multiplier deux quotients, tu multiplies les numérateurs entre eux d'une part, et les dénominateurs entre eux d'autre part.
par ailleurs, \(\sqrt{x}*\sqrt{x} = x\) pour tout réel x.

Continue tes calculs avec les aides que je viens d'indiquer : lis-les très attentivement pour finir ton calcul.

Bonne recherche
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » ven. 5 oct. 2018 16:54

Bonjour sos math (34)


\((-b) \times (-b) = ...\)

pour l'addition (-) plus (-) donne + mais pour la multiplication ?
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SoS-Math(34)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » ven. 5 oct. 2018 16:59

Attention tu confonds deux cas différents :

* pour la multiplication :le produit de deux réels négatifs est positif.
exemple : (-2)*(-3)= 6
cette règle de calcul doit te permettre de simplifier (-b)*(-b)

* pour la somme : la somme de deux réels négatifs est négative.
exemple: (-2) + (-3) = -5 (si tu perds 2 euros, puis 3 euros ensuite, alors tu en as … perdu 5)
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » ven. 5 oct. 2018 17:17

premier quotient


\(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b²}{4a²}\)

\(2a = 2\times a\)

\(2a \times 2a = (2\times a ) \times (2 \times a)\)

deuxième quotient

\(- \frac{b}{2a} \times \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)

troisième quotient

\(- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b}{2a} = \frac{b \sqrt{\Delta}}{4a²}\)

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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(30) » ven. 5 oct. 2018 20:01

Bonsoir Yann,

C'est bien cela. Tu peux ainsi terminer la simplification.

SoSMath
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » ven. 5 oct. 2018 20:36

Bonsoir sos math (30)

est ce que j'ai le droit d'écrire

\(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) + \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)


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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(9) » sam. 6 oct. 2018 08:38

Bonjour Yann,

Oui, tu as le droit d'écrire cela !
C'est juste la règle d'addition des fractions : \(\frac{a}{c}+ \frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\).

SoSMath.
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(9) » sam. 6 oct. 2018 08:40

Yann,

tu peux même écrire : \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a} \right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\).

C'est mieux pour développer … car tu peux reconnaitre a² - b².

SoSMath.
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » sam. 6 oct. 2018 11:22

Bonjour sos math (9)


\(\quad\left[\left(\frac{-b}{2a}\right) \quad-\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right] \quad \times \quad \left[\left(\frac{-b}{2a}\right)\quad +\quad \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]\)


\(\quad\quad\left(\quad A \quad - \quad B \quad\right) \quad \times \quad\left(\quad A \quad + \quad B\quad \right)\quad = \quad A^2 - B^2\)


\(A = \left(\frac{-b}{2a}\right) \quad => \quad A^2 = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2\) \(\quad\quad \quad B = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \quad= >\quad B^2 = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}\)


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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(33) » sam. 6 oct. 2018 11:41

Bonjour yann,
ce que tu écris est correct, tu peux aussi écrire : \(A^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » sam. 6 oct. 2018 14:17

Bonjour

Est-il possible de revenir sur le début du sujet ?
Je pensais y arriver seul, parce que ça a l'air facile mais en rédigeant je me rends compte que j'ai encore besoin d'aide.
L'aide disponible sur votre site est le seul moyen pour moi d'y arriver

énoncé : Dans cet exercice, on veut étudier l'existence des solutions \(\left(u,v \right)\in R_{2}\) du système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)
ou \(S\) et \(P\) sont des réels donnés. On commence dans les 3 premières questions par étudier le cas particulier où S = 3/2 et P =1/2

puis on traitera le cas général

Cas particulier.

1 ) Montrer que les fonctions polynômes \(f_1 (x)\) et \(f_2(x)\) définies pour tout \(x \in R\) par \(f_1(x) = 2x² - 3x + 1\) et \(f_2(x) = x - 3/2x + 1/2\) ont les mêmes racines. Les calculer

2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez vous ? on pourra comparer les valeurs obtenues avec les coefficients des polynômes \(f_1\) et \(f_2\) ainsi que étudier les liens possibles avec \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\)


3 ) déterminer toutes les solutions de \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) quand \(S = 3/2\) et \(P = 1/2\)


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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(9) » sam. 6 oct. 2018 14:30

Yann,

que veux-tu exactement ?

tu as \(u+v=S\) donc \(v = S - u\).
On remplace dans la 2ème équation : \(u(S-u) = P\) soit \(u^2-Su+P=0\).
c'est une équation du second degré que tu peux résoudre en calculant le discriminant ...

SoSMath.
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » sam. 6 oct. 2018 15:52

\(u + v = S => v = S - u\)

\(u (S - u) = P\)

\(- u² + S u = P => - u² + Su - P = 0 => u² -Su + P = 0\)

a = u
b = -S
c = P

\(\Delta = b² - 4 ac = (-1)² - 4 \times (-1) \times 1 = 1 + 4 = 5\)

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}\)

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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(9) » sam. 6 oct. 2018 18:49

Yann,

Si tu prends f2(x)=x²−3/2x+1/2.

a =1 et non u...
b = -S = -3/2
c = P = 1/2.

SoSMath.
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » sam. 6 oct. 2018 19:44

Bonsoir Sos math (9)

je ne fais pas le lien entre le système \(\begin{vmatrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{vmatrix}\) et la fonction polynôme \(f_2(x) = x - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)

je vais chercher de mon coté, je passe beaucoup de temps à chercher depuis mercredi, à mon niveau ça devrait être terminé mais je fais beaucoup d'efforts pour comprendre.

Pouvez vous me laisser trouver en me faisant chercher avec des questions ?
parfois cela m'aide à réfléchir et à trouver ..

D'avance merci
yann
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