DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

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yann

DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 16:52

Bonjour

Dans cet exercice, on veut étudier l'existence de solutions \((u;v) \in R^2\) du système \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\)
où \(P\) et \(S\) sont deux réels donnés. on commence par les trois premières questions par le cas particulier où \(S = \frac{3}{2}\) et \(P = \frac{1}{2}\)

puis on traitera le Cas Général

Cas particulier.
1) Montrer que les polynômes \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\) définies dans R par \(f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1\)

et \(f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2} +\frac{1}{2}\) ont les mêmes racines.



2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\)
et ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\)

3 ) déterminer toutes les solutions de \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\) quand \(S = \frac{3}{2}\) et \(P = \frac{1}{2}\)

Cas général.
On veut montrer que (u;v) est solution du système \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\) si et seulement si \(u\) et \(v\) sont les racines de \(f(x) = x^2 - Sx + P\)

4 ) soit \(g\) la fonction trinôme de degré 2 définie par \(f : -> ax^2 + bx + c\) Montrer que dans le cas où \(g\) possède des racines \(x_1\) et \(x_2\) celles-ci vérifient :
\(\left\lbrace\begin{matrix} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

En déduire que si \(u\) et \(v\) sont racines de f alors \((u;v) \in R^2\) est solution de \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\)

5 ) combien de couples solution de \(\left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u \times v = P\end{matrix}\right.\) la question précédente vous permet-elle de déduire ? Avez vous prouvé que ce sont les seuls ?


J' ai trouvé les racines des 2 polynômes mais pour la suite j'aurais besoin d'aide
D'avance merci
yann
SoS-Math(34)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 17:01

Bonjour Yann,

Peux-tu me dire de quelles racines tu parles? Celles de la première cas particulier?
la question 2) est simple, calcule la somme de x1 et x2 et leur produit et observe les valeurs obtenues : elles sont en lien avec f1(x).

Pour la partie généralisation, peux-tu me préciser ce que tu as commencé à faire?
Cela m'aidera à préciser ma réponse et à t'aider au mieux.

Sosmaths
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 17:38

Bonjour sos math (34)
j'ai eu du mal à recopier tout le sujet, j'ai cherché pour faire des formules avec le Latex et aussi pour aérer tout le texte pour pas avoir un pavé

pour répondre à vos questions
j'ai calculé le discriminant et les 2 racines de \(2x^2 - 3x + 1\) et de \(x^2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\)

\(f_1(x) = 2x² - 3x + 1 = 0\)

\(\Delta = b² - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = (1)^2\)

solutions

\(x_1 = \frac{3 + 1}{4}\)

\(x_2 = \frac{3 - 1}{4}\) soit {\(1; \frac{1}{2}\)}




\(f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0\)

\(\Delta = b² - 4ac = (\frac{3}{2})^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4} - \frac{4}{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2\)

solutions :

\(x_1 = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}{2}\)

\(x_2 = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}{2}\) soit {\(1; \frac{1}{2}\) }



avec la forme canonique

\(x^2 - \frac{3}{2}x\) est le début de développement de \(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}\) de l'identité \(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2\)

et je peux écrire aussi \(x^2 - \frac{3}{2}x = \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\)

\(x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^² - \frac{9}{16} + \frac{1}{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^² - \frac{9}{16} + \frac{8}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^² - \frac{1}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^²- \left( \frac{1}{4}\right)^² = 0\)

\(<=> \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0\) ou bien \(\left(x - 1\right) = 0\)

Les solutions de \(x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0\) sont 1 et 1/2
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 17:42

Yann,

Ne t'embête pas à recopier toutes tes réponses. Tu pouvais simplement me dire au 1° que f1(x)=0 et f2(x) = 0 ont les mêmes racines 1 et 0.5 que tu as obtenu grâce au discriminant (je pense qu'une seule méthode suffit dans ton devoir). Pour aller plus vite, pense photographier ton travail et à le mettre en pièce jointe, cela peut être pratique.
qu'as-tu fait pour la suite de la partie cas particulier? La somme S et le produit P des racines? Que t'inspirent-ils? Où peux-tu retrouver ces valeurs P et S ?
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 18:00

la somme des racines \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)

me donne \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b - \sqrt{\Delta}+ \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-b}{a}\)

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Que t'inspirent - ils ?
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 18:17

tu es donc au 4) de la partie 2...
et le produit des racines? Effectue ce calcul aussi, produit de deux quotients.
tu vas observer qu'on peut simplifier ce résultat
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 18:23

oui, mais je dois avoir une fraction c/a comme résultat , j'ai pensé remplacer \(\Delta\) par \(b^2 - 4ac\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 18:26

oui, c'est une bonneidée
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 18:36

produit de deux quotients

\(x_1 \times x_2\left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times\left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)

<=>

\(x_1 \times x_2\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \times\left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\)

double distributivité ??
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 18:37

oui, pour le numérateur. Attention aux parenthèses...
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » mer. 3 oct. 2018 18:43

\(x_1 \times x_2 = \left(-b - \sqrt{b^2 - 4ac}\right) \times \left(-b - \sqrt{b^2 - 4ac}\right)= (-b \times -b) - (b \times (- \sqrt{b^2 - 4ac})) - (\sqrt{b^2 - 4ac})\times(-\sqrt{b^2 -4ac})\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(34) » mer. 3 oct. 2018 21:48

Yann,

Tu devrais avoir 4 termes en développant et pas trois...
Par ailleurs, tu peux simplifier :
(-b)*(-b).
et le produit des deux racines carrées, qui est finalement la racine carrée de delta multipliée par elle-même…


bonne recherche
sosmaths
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » jeu. 4 oct. 2018 10:02

Bonjour sos math (34)

\(x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)= \left(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) -\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b}{2a}\right) - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)


\(\left(\frac{-b}{2a} \times \frac{-b}{2a}\right) = -\frac{b}{a}\)
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Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par SoS-Math(7) » jeu. 4 oct. 2018 21:39

Bonsoir Yann,

Je ne comprends pas bien tes calculs. Reprenons le produit :
\(x_1\times x_2=\frac{(−b−\sqrt{\Delta})}{2a}\frac{(−b+\sqrt{\Delta})}{2a}=\frac{(−b-\sqrt{\Delta})(−b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}\)

Au numérateur, tu peux effectivement développer en utilisant la double distributivité mais tu devrais reconnaitre une identité remarquable qui te permettra d'être plus rapide et d'éviter certaines erreurs...

Je te laisse reprendre ce calcul.
A bientôt
yann

Re: DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

Message par yann » ven. 5 oct. 2018 12:13

Bonjour sos math (7)

Cela me fait très plaisir de vous retrouver, je me rappelle que vous m'avez bien aidé sur les valeurs absolues, j'en profite pour vous dire merci car il me semble aussi ne pas l'avoir fait.

Avant de faire le calcul avec l'identité remarquable, j'aimerais ( si vous êtes d'accord ? ) continuer le calcul avec la double distributivité
j'ai mis chaque fraction sous la forme de deux fractions, aussi pouvez vous me dire si j'ai bien placer les parenthèses ?

\(x_1\times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \left( \frac{-b}{2a} \right)+ \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)

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