SOS-MATH

Bonjour, je souhaiterais bénéficier de votre aide pour l'exercice suivant :


Énoncé

m est un réel donné, m diffèrent de 1,

on considère l'équation Em : (m-1)x^2 - 2x + 1 - m = 0
Démontrer que pour tout m, m different de 1, l'équation Em a 2 solutions distinctes x1 et x2 signes contraires.

Mon opinion

Je ne vois aucune factorisation afin de mettre cette équation sous la forme d'un trinôme du second degré et appliquer la méthode par radicaux. J'ai pensé à diviser pour simplifier mais les signes m'en empêche. Et je ne vois pas l'intérêt de multiplier. Je suis comme bloqué devant l'exercice alors que je ne l'ai pas commencé, j'aimerais une piste si vous le voulez bien. Merci beaucoup

Bonjour,
As-tu vu le discriminant ? Si oui, calcule le discriminant et vérifie qu'il est strictement positif pour tout \(m\neq 1\).
Sinon, il faut chercher à factoriser et mettre sous forme canonique :
\((m-1)x^2-2x+1-m=0\) est équivalente à \((m-1)\left(x^2-\dfrac{2}{m-1}x+\dfrac{1-m}{m-1}\right)=0\)
Or \(\dfrac{1-m}{m-1}=-1\) car les deux nombres sont opposés.
Tu as donc \((m-1)\left(x^2-\dfrac{2}{m-1}x-1\right)=0\) et comme \(m-1\neq 0\), la seule possibilité d'avoir 0 est que la deuxième parenthèse soit égale à 0 donc l'équation est équivalente à :
\(x^2-\dfrac{2}{m-1}x-1=0 \)
Je te laisse terminer : il faut que tu remarques que \(x^2-\dfrac{2}{m-1}x\) est le début du développement d'un carré \(a^2-2ab...\) avec \(a\) et \(b\) à déterminer, ce qui te permettra de mettre ton équation sous la forme \((a-b)^2+c=0\) avec \(c<0\) ce qui t'assurera deux solutions distinctes.
Bonne continuation

J'ai opté pour la première méthode qui consistait à calculer le discriminant. Je n'avais pas l'habitude d'avoir autant de lettres devant les termes du trinôme donc je ne les ai pas vus...
a = m-1
b = -2
c = 1-m

delta = b^2 - 4ac = 4m^2-8m+8 = m^2 - 2m + 2. Par la suite, on calcule le delta de ce nouveau trinôme ce qui donne : delta prime = (-2^2) - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = - 4

Or, on cherche 2 solutions réelles et distinctes donc je ne comprends pas ce résultat. Ca suppose que je me suis trompé dans le calcul du discriminant mais je suis sur de n'avoir fait aucune erreur. Est ce moi qui n'arrive pas à interpréter ce résultat ? Merci d'avance.

Bonjour,
quand tu calcules le delta prime et que tu trouves négatif cela veut dire que ton premier delta n'a pas de solution donc il est toujours du même signe.
Il te faut donc voir la condition sur m pour qu'il soit positif et ainsi tu auras la possibilité de deux solution pour ton équation de départ.
Je te laisse reprendre

J'y ai réfléchi et je me dis qu'avec un "m" négatif , on pouvait avoir un delta positif car : m^2 - 2m + 2 deviendrait -m^2+2m+2 et le delta serait égal à 4 -4*-1*2 = 12 supérieur à 0

donc l'équation admet 2 solutions réelles et distinctes : 2racine3 et -2racine3

Donc l'équation aurait 2 solutions distinctes et de signes contraires à la conditions que m soit different de 1 et inférieur à O

Est-ce exacte ?

Bonjour,
tu sais que ton trinôme \(m^2-2m+2\) est de signe constant car son discriminant est négatif.
Pour savoir de quel signe il est, il suffit de considérer le signe du coefficient dominant \(m^2\) donc \(a=1\) ce qui fait qu'on a graphiquement une parabole orientée vers le haut qui ne rencontre pas l'axe des abscisses donc cela implique que la parabole est complètement au-dessus de l'axe des abscisses donc que \(m^2-2m+2>0\) pour tout réel \(m\).
Donc au final ton discriminant initial est toujours strictement positif donc ton équation a toujours ....
Bonne conclusion

En effet, j'ai vu en cours que si a était supérieur à 0 et si delta était lui aussi positif alors la courbe rencontrait l'axe des abscisses en 2 points distincts.

Mais j'ai l'impression qu'une partie du cours m'a été occultée. Si je résume ( dites moi si je me trompe ) on a trouvé que le delta prime était inférieur à 0 et ici a été inférieur à 0 donc la courbe représentatif de l'équation m^2 - 8m+ 8 passe au dessus de zéro. On pose l'inéquation comme vous l'avez fait.

SAUF QUE ce vous dites est vrai mais pour poser le tableau de signe on en revient au delta qui a une valeur négative !!! et on ne peut pas calculer une racine de nombre négative

A vrai dire je crois qu'entre l'avant dernière ligne et la dernière vous avez omis une étape du raisonnement c'est pour cela que je ne comprends pas ou vous voulez en venir.

Merci d'entrer dans les détails.

Meme si on sait pas déduction que le discriminant est positif, nous n'avons aucune moyen de trouver une valeur pour celui ci et trouver des solutions. A moins que par démontrer, l'exercice n'attends pas de valeur...

Bonjour,
on résume :
On recherche des solutions éventuelles à : \((m-1)x^2 - 2x + 1 - m = 0\)
Pour résoudre cette équation on calcule son discriminant : \(\Delta=(-2)^2-4\times (m-1)(1-m)=4+4m^2-8m+4=4m^2-8m+8)=4(m^2-2m+2)\)
On sait que l'équation aura des solutions distinctes si \(\Delta>0\) ce qui revient à connaître le signe de \(m^2-2m+2\).
Or pour connaître le signe de ce trinôme, on peut calculer son discriminant pour savoir s'il a des racines :
\(\Delta '=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4<0\)
Ce discriminant est négatif donc \(m^2-2m+2\) n'a pas de racines donc est de signe constant ; comme son coefficient dominant est positif, il est strictement positif.
Finalement, on a bien prouvé que \(m^2-2m+2>0\) pour tout \(m\). Donc l'équation du départ a bien deux solutions distinctes quelle que soit la valeur de \(m\).
Il reste à montrer pourquoi elles sont de signe contraire. Pour obtenir cela, je te conseille d'écrire la forme des solutions \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) puis de faire le produit : si ce produit est négatif, elles sont de signes contraire, s'il est positif elles sont de même signe.
Bon courage