SOS-MATH

Bonjour

Un mobile effectue n mouvements sur un axe gradué ( n>0) ; à chaque mouvement, il se déplace d’une unité vers la gauche ou de deux unités vers la droite de façon équiprobable.
Au départ le mobile se trouve à l’origine.
Soient X et Y variables aléatoires qui à chaque résultat de l’expérience aléatoire, associent respectivement l’abscisse du mobile et le nombre de mouvements vers la droite effectués par le mobile.
1°) Exprimer X en fonction de Y
2°) Reconnaitre la loi de probabilité de Y et préciser son espérance et sa variance.
3°) En déduire l’espérance et la variance de X

Réponses:
2°) On répète une expérience à deux issues, à droite ou à gauche, avec un succès si à droite de probabilité 1/2, les répétitions sont indépendantes.
Donc Y de loi binomiale de paramètres ( n, 1/2).
E(Y)=n/2
V(Y)=n/2*1/2=n/4

Pour la première question, aucune idée !
Merci pour des réponses.

Bonjour kadsos,
En effet, je pense que la réponse à la question 2) est juste.
Pour la question 1), il faut essayer de tester la situation et chercher l'abscisse X au bout de 1 , 2, 3 mouvements (faire un arbre)
Cela pourra te donner une idée des valeurs que va prendre X et vérifier ensuite la formule que tu pourras trouver.
Autre indice : l'abscisse X dépend à la fois des déplacements à droite (il y en a Y et à chaque fois on se déplace de 2) et des déplacement à gauches (il y en a .... et à chaque fois on se déplace de ... )
Voilà, j'espère t'avoir aidé !

Bonjour
Merci pour la réponse.

Autre indice : l'abscisse X dépend à la fois des déplacements à droite (il y en a Y et à chaque fois on se déplace de 2) et des déplacement à gauches (il y en a .... et à chaque fois on se déplace de ... )

Il y a Y déplacements à gauche et à chaque fois on se déplace de -1

Un arbre pour pour un mouvement: D pour à droite et G pour à gauche: il y a 2 possibilités, les voici:
D: X=2
G: X=-1

Un arbre pour deux mouvements: D pour à droite et G pour à gauche: il y a 4 possibilités, les voici:
DD X=4
DG X=1
GD X=1
GG X=-2
Un arbre pour trois mouvements: D pour à droite et G pour à gauche: il y a 8 possibilités, les voici:
DDD X=6
DDG X=3
DGD X=3
DGG X=0
GDD X=3
GDG X=0
GGD X=0
GGG X=-3

Je ne vois toujours pas comment exprimer X en fonction de Y.

Essaie de compléter ma réponse au niveau des ....
X est égal à la somme des déplacements à gauche et à droite .
Propose une réponse ! à bientôt

Bonjour

Bien sûr, j'ai fait une confusion sur la v.a Y !
Y compte le nombre de déplacements à DROITE et non le nombre de déplacements total.
Donc sur n déplacements, si Y déplacements à droite alors il y a (n-Y) déplacements à gauche.
Donc X=2Y-(n-Y)=3Y-n

Merci pour tes différentes aides!

Oui, Kadsos, tu as trouver l'expression de la variable aléatoire X.
Maintenant, à partir de cette expression et l'espérance de Y, tu peux trouver l'espérance de X pour répondre à la question 3)

Bien sûr il reste la question 3°)
E(Y)=n/2
V(Y)=n/2*1/2=n/4

X=3Y-n
E(X)=3*n/2-n=n/2
V(X)=9*n/4

C'est bien Kadsos.
Bonne soirée.