Trigonométrie

[oliver]

Vous êtes sûre que j'ai faux ? Car j'ai remplacer sin² x par 1 - cos² x, et obtenir ainsi une équation du second degré en cos² x. Après j'ai remarquer que l’équation 2 cos² x - 2 sin² x =\(-\sqrt { 3 }\) peut s'écrire
\(2(cos²x-sin²x)=-\sqrt { 3 }\)

or (cos²x-sin²x)=cos 2x,,donc l'équation s'écrit :

\(2cos\ 2x=-\sqrt { 3 } \quad \quad ou\quad cos2x\quad =\quad -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)

Après la suite vous la connaissez déjà.

[SoS-Math(9)]

Olivier,

Ce que tu as fait est complétement juste.
Désolé j'ai lu trop vite ta correction.

SoSMath.

[oliver]

Ok d'accord:) par contre pour le prochain j'ai besoin de vous, je sais pas par quoi commencer.
Je m'appelle Oliver pas Olivier :)

[SoS-Math(9)]

Olivier,

Pour la 1ère égalité, il faut réduire au même dénominateur, puis utiliser les formule d'addition du sinus ....
Pour la 2ème égalité il faut utiliser la relation cos(2a) = 2 cos²(a) - 1 soit 1 + cos(2a) = 2 cos²(a) et sin(2a) = 2sin(a)cos(a).
Ces formules donnent aussi 1 + cos(a) = ... et sin(a) = 2 .... (je te laisse compléter)

SoSMath.

[oliver]

Bonjour, pour la première égalité je n'ai pas trop compris comment j'arrive a réduire le même dénominateur... et la deuxième j'ai jamais utilisé de formule de duplication pouvez-vous expliquer comment faire ? merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Olivier,

Je pense que tu sais additionner des fractions ....
\(\frac{sin3x}{sinx} + \frac{cos3x}{cosx} = \frac{cosx\ sin3x}{cosx\ sinx} + \frac{sinx\ cos3x}{sinx\ cosx}\)

ce qui va te donner une nouvelle équation : \(cosx\ sin3x + sinx\ cos3x = 4cos2x\ sinx\ cosx\).

Pour les formules de duplication, il suffit de changer la variable :
1 + cos(2a) = 2 cos²(a)
on prend b = 2a donc a = b/2, d'où : 1 + cos(b) = 2 cos²(b/2)

Même chose pour la deuxième formule.

SoSMath.

[oliver]

Pour la 1ère égalité je trouver sa: \(\cos \left( x \right) \sin \left( 3x \right) +\sin \left( x \right) \cos \left( 3x \right) =4\cos \left( 2x \right) \sin \left( x \right) \cos \left( x \right) \\ \cos \left( x \right) \sin \left( 3x \right) +\sin \left( x \right) \cos \left( 3x \right) \\ \\ { Utiliser\: l'identité\: suivante }:\quad \cos \left( s \right) \sin \left( t \right) +\cos \left( t \right) \sin \left( s \right) =\sin \left( s+t \right) \\ =\sin \left( x+3x \right) \\ \\ { Simplifier }\: \sin \left( x+3x \right) :\quad \sin \left( 4x \right) \\ =\sin \left( 4x \right) \\ =\sin \left( 2\cdot \: 2x \right) \\ \\ { Utiliser\: l'identité\: suivante }:\quad \sin \left( 2x \right) =2\cos \left( x \right) \sin \left( x \right) \\ =2\cos \left( 2x \right) \sin \left( 2x \right) \\ \\ { Utiliser\: l'identité\: suivante }:\quad \sin \left( 2x \right) =2\cos \left( x \right) \sin \left( x \right) \\ =2\cdot \: 2\cos \left( 2x \right) \cos \left( x \right) \sin \left( x \right) \\ \\ { Simplifier }\\ =4\cos \left( 2x \right) \cos \left( x \right) \sin \left( x \right) \\ J'ai{ \: montré\: que\: les\: deux\: parties\: pourraient\: prendre\: la\: même\: forme }\\ \\ { \Rightarrow Vrai }\)

Pour la 2ème égalité j'ai trouver sa : \(1+\cos \left( 2a \right) =2\cos ^{ 2 } \left( 2\cdot \frac { a }{ 2 } \right) \\ 2\cos ^{ 2 } \left( 2\frac { a }{ 2 } \right) \\ \\ { Simplifier }\\ =2\cos ^{ 2 } \left( a \right) \\ \\ { Utiliser\: l'identité\: suivante }:\quad \: 2\cos ^{ 2 } \left( x \right) =1+\cos \left( 2x \right) \\ =1+\cos \left( 2a \right) \\ \\ { J'ai\: montré\: que\: les\: deux\: parties\: pourraient\: prendre\: la\: même\: forme }\\ \Rightarrow { Vrai }\)

[SoS-Math(9)]

Olivier,

C'est bien pour la 1ère égalité.
Mais je ne comprends pas ce que tu as fait pour la 2ème.

SoSMath.

[oliver]

Ok super pour la 1ère, ha...pour la 2ème j'ai pas trop compris...en faite.

[SoS-Math(9)]

Olivier,

La 2ème n'est pas simple ... voici le début :
\(\frac{sin(2a)}{1+cos(2a)} \times \frac{cos(a)}{1+cos(a)}\)
= \(\frac{sin(2a) \times cos(a)}{1+cos(2a)} \times \frac{1}{1+cos(a)}\)
= \(\frac{2sin(a)\ cos(a) \times cos(a)}{2cos^2(a)} \times \frac{1}{2cos^2(\frac{a}{2})}\)
= ...

Je te laisse terminer !

SoSMath.

[Oliver]

Bonjour je suis vraiment désolé mais je n’arrive pas du tout..

[oliver]

Bonjour, je suis vraiment désolée mais je n'y arrive pas du tout ...

[SoS-Math(33)]

Bonjour Oliver,
il faut utiliser ces deux formules : \(\color{blue}{sin(2a) = 2sin(a) cos(a)}\) et \(cos(2a)=2cos^2(a)-1\) ce qui donne \(\color{green}{1+cos(2a)=2cos^2(a)}\)
Ainsi tu as :

\(\frac{sin(2a)}{1+cos(2a)} \times \frac{cos(a)}{1+cos(a)}\)
= \(\frac{\color{blue}{2sin(a)\ cos(a)}}{\color{green}{2cos^2(a)}} \times \frac{cos(a)}{1+cos(a)}\)
= \(\frac{2sin(a)\ cos(a) \times cos(a)}{2cos^2(a)} \times \frac{1}{2cos^2(\frac{a}{2})}\)
Tu peux maintenant simplifier la première fraction
Ensuite tu réutilises les deux même formules
Je te laisse poursuivre

[oliver]

C'est pour la première fraction.
\[\frac { 2\sin \left( a \right) \cos \left( a \right) \times \cos \left( a \right) }{ 2\cos ^{ 2 } \left( a \right) } \\ \\ =\frac { \sin \left( 2a \right) }{ 2\cos \left( a \right) } \\ \\ J'ai\quad direct\quad simplifier\quad si\quad tu\quad veux\quad les\quad étapes,je\quad te\quad les\quad donner\quad\]

[SoS-Math(33)]

Ce n'est pas la bonne simplification
\(\large\frac{2sin(a)\ cos(a) \times cos(a)}{2cos^2(a)}\)
= \(\large\frac{2sin(a)\ cos^2(a) }{2cos^2(a)}\)
sous cette forme tu dois voir la simplification apparaitre