Trigonométrie

[Oliver]

Bonjour, je suis tombé nez à nez avec un exercice et je ne sais pas comment commencer a le résoudre.

\(sin\quad \alpha \quad =\frac { 3 }{ 5 } \quad et\quad sin\quad \beta =\frac { 4 }{ 5 }\)

Ont demande de calculer l'angle \((\alpha +\beta )\).

Merci pour votre aide

[sos-math(27)]

Bonjour Olivier,
si tu connais le sinus d'un angle, tu peux facilement calculer son cosinus avec : \(cos^2(x)+sin^2(x)=1\)
Tu peux donc calculer \(cos(\alpha)\) et \(cos(\beta)\)
Ensuite, utilise la formule d’addition pour les angles, et tu pourra, je pense répondre au problème posé.

à bientôt

[oliver]

J'ai oublié de préciser ces deux angles aigus et non son sin. Le seul truc que je sais pour déterminer l'angle (a+b) la méthode consiste à calculer une lignes trigonométrique de cet angle sin (a+b).

[sos-math(27)]

Si les angles sont aigus, alors les cosinus sont positifs.
Sinon, la formule d'addition est la bonne piste...
à bientôt

[Oliver]

J’ai oublié de préciser que c’est des angles aigus et non le sin. Sin a = 3/5 ne veut pas dire que a = 3/5. Je sais pour déterminer l’angle (a+b) la méthode consiste a calculer une ligne trigonométrique de cet angle sin (a+b).

[sos-math(27)]

J'avais bien compris, essaie d'utiliser la formule que je t'avais donnée pour calculer \(cos \alpha\) et \(cos \beta\)
Ensuite : \(sin(a+b)=sin(a) cos(b)+cos(a) sin(b)\)
à bientôt

[oliver]

En faite c'est 3/5 qui me pose problème car se ne pas une valeur remarquable.

[SoS-Math(30)]

Bonjour,

Effectivement ce n'est pas une valeur remarquable.
Dans ce cas, on a recours à la calculatrice avec les fonctions arcsin ou arccos et on utilise le cercle trigonométrique pour déterminer "la" bonne valeur parmi les deux possibles.

SoSMath

[oliver]

J'ai utiliser un cercle trigonométriques est j'ai trouve cela

\(sin\quad a\quad \frac { 3 }{ 5 } =\quad \sqrt { \frac { 5+\sqrt { 5 } }{ 8 } } \\ sin\quad b\quad \frac { 4 }{ 5 } =\sqrt { \frac { 5-\sqrt { 5 } }{ 8 } }\)

[SoS-Math(30)]

Je ne sais pas comment tu as trouvé ces valeurs mais cela ne correspond pas à ton énoncé. Tu peux le vérifier avec ta calculatrice.
J'ai relu tous les messages précédents et si ton problème est bien le suivant, tu n'es pas pas sur la bonne piste.
Ton problème : On considère deux angles aigus \(\alpha\) et \(\beta\) qui vérifient \(sin\left ( \alpha \right )=\frac{3}{5}\) et \(sin\left ( \beta \right )=\frac{4}{5}\). La question est de déterminer l'angle \(\alpha +\beta\).

Comme les deux sinus sont positifs et comme les angles sont aigus, ils ont tous les deux une mesure principale comprise entre 0 et \(\frac{\pi }{2}\) et donc des cosinus positifs.
Comme on te l'a plusieurs fois suggéré dans les précédents messages, tu peux grâce à ces informations et grâce à la formule \(cos^{2}(\alpha )+sin^{2}\left ( \alpha \right )=1\), déterminer \(cos(\alpha )\). De la même manière tu peux déterminer \(cos\left ( \beta \right )\).

Si tu fais bien cela, tu devrais alors remarquer une particularité sur ces 4 valeurs. Si tu ne le vois pas, tu peux essayer de placer ces valeurs sur un cercle trigonométrique. Grâce à une certaine symétrie, tu devrais pouvoir alors directement déterminer l'angle \(\alpha +\beta\).

Si jamais tu ne le voyais pas, tu peux là encore suivre les conseils qui t'ont déjà été donnés, à savoir calculer le cosinus et le sinus de l'angle \(\alpha +\beta\) à l'aide des formules d'addition. Tu devrais obtenir ici des valeurs remarquables et déterminer ainsi l'angle \(\alpha +\beta\).

Bon courage

SoSMath

[oliver]

Bon je suis vraiment désolé mais ça fait longtemps que je n’ai pas fait des équations comme cela, car je suis en train de faire une formation dessinateur en bâtiment...
Vous pouvez-vous me faire la première étape de la formule \(cos^{2}(\alpha )+sin^{2}\left ( \alpha \right )=1\) ? merci

[SoS-Math(30)]

On sait que \(sin\left ( \alpha \right )=\frac{3}{5}\).
On remplace dans la formule \(cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1\) ce qui donne \(cos^{2}\alpha +\left(\frac{3}{5}\right)^{2} =1\).
Ainsi \(cos^{2}\alpha +\frac{9}{25} =1\).
Je te laisse poursuivre.

SoSMath

[oliver]

\(cos²a+(\frac { 3 }{ 5 } )²=1\\ cos²a+\frac { 9 }{ 25 } =1\\ cos(a)=u\\ u²+\frac { 9 }{ 25 } =\quad 1\\ u²+\frac { 9 }{ 25 } -\frac { 9 }{ 25 } =1-\frac { 9 }{ 25 } \\ u²=\frac { 16 }{ 25 } \\ \\ \\ \\ \sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\frac { 4 }{ 5 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\quad \frac { 4 }{ 5 } \\ cos(a)\quad =\quad \frac { 4 }{ 5 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad cos(a)\quad =\quad -\frac { 4 }{ 5 }\)

Est-ce que c'est bon pour l'instant ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Oliver,
oui ce que tu as fait est correct pour la résolution de l'équation. Maintenant tu sais d'après les messages précédents que les angles sont aigus et compris entre 0 et pi/2 donc tu dois ne garder que la valeur positive pour le cosinus.

[oliver]

Ok d'accord comme cela ?

\(\frac { 16 }{ 25 } +\frac { 9 }{ 25 } =1\)