SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un dm de maths à faire et je n'ai aucune piste pour y arriver.
voici l’énoncé:
Problème:
Il s'agit de déterminer toutes les fonctions f satisfaisant la condition (C) suivante:
f une fonction définie sur [0;1] et à valeur dans [0;1]telle que pour tout réels x et y de [0;1], |f(x)-f(y)|>= |x-y|
1) vérifier que les fonctions u et v définies sur [0;1] par u(x)=x et v(x)=1-x remplissent la condition (C):
2) Dans toute la suite du problème, f désigne une fonction satisfaisant la condition (C)
Prouver qu'alors nécessairement: { f(0)=0 f(1)=1 ou { f(0)=1 f(1)=0
3) On suppose que f(0)=0 (donc f(1)=1 )
a) Démontre que pour tout x appartenant à [0;1], f(x) >=x
b)Exploiter l'égalité |f(x)-1|>=|x-1| pour établir que pour tout x appartenant à [0;1], f(x)=x
4) Examiner le cas f(0)=1. On pourra par exemple s'intéresser à la fonction g(x)=1-f(x)
5) Déduire de cette étude que les seules fonctions qui vérifient la condition (C) sont les fonctions u et v

J'aimerais une piste pour démarrer avec la première question, qui je l'espère m'aidera pour la suite de ce devoir :)

Bonsoir Louise,

Pour la première question, il suffit de calculer |u(x) - u(y)| en fonction de x et de y et de comparer le résultat avec |x - y|.
Normalement, tu devrais trouver sans souci que |u(x) - u(y)| > = |x - y| pour tous réels x et y de [0;1].
Même démarche pour la fonction v.

Bon démarrage d'exercice
Sos-maths

Merci.
Je trouve: |u(x)-u(y)|= { u(x)-u(y) si u(x)>=u(y) soit u(x)>=0 et y<=1
u(y)-u(x) si u(x)<=u(y) soit u(x)<=1 et u(y)>=0

|x-y|= { x-y si x>=y soit x>=0 et y<=1
y-x si x<=y soit y>=0 et x<=1

Je n'arrive pas à voir ce qu'il faut faire ensuite, je remarque que lorsque le signe ne change pas ( première ligne des accolades), u(x) et x sont supérieurs ou égal à 0, et lorsque le signe change, u(x)<=1 et x<=1, et la même chose pour u(y) et y.
Mais comment comparer u(x) et x, et u(y) et y?
Merci d'avance.

Bonjour,
si tu bloques à la première question : tu as u(x)=x et v(x)=1-x donc u(x)-u(y)=x-y est donc cela reste vrai en valeur absolue \(|u(x)-u(y)|=|x-y|\) donc on a bien
\(|u(x)-u(y)|\geqslant |x-y|\) . Pour la deuxième fonction c'est un peu pareil : \(v(x)-v(y)=(1-x)-(1-y)=-x+y\) donc en valeur absolue on a bien \(|v(x)-v(y)|=|x-y|\) et a fortiori \(|v(x)-v(y)|\geqslant |x-y|\).
Est-ce plus clair ?