SOS-MATH

Bonjour à tous, je suis en première S svt et n'ayant pas jusque là de problème particulier en mathématiques je n'ai pas vu la nécessité d'utiliser ce forum dont j'ai connaissance depuis l'année dernière (mais je trouve que cette initiative est très pertinente).
Voilà pourquoi je vous prie de m'accorder un petit peu de votre aide généreuse en ce lundi de paques.

Mon sos vient de deux questions d'un devoir maison, chacune terminant deux exercices (je ne peux donc pas m'aider des questions suivantes...).

La première porte sur l'étude des variations d'une fonction V sur ]0;+infini[ d'équation V(R)=((aR)/2)-pi*R^3 (cela étant le volume d'une boîte cylindrique en fonction du rayon R du disque de base du cylindre et de a [une constante fixée] l'aire totale de la boîte).
En fait, je tique sur la constante a, n'ayant jamais été confronté à cet outil dans l'étude du signe de la dérivée pour trouver les variations d'une fonction; aussi je ne sais pas quelle méthode appliquée.

Pour ce qui est du second problème, il porte sur la recherche d'une équation de la tangente à un cercle (C) d'équation x²+y²+2x-4y-20=0 [donc I(-1;2) et r=5] dans un repère orthonormal (O,i,j).
On cherche donc la tangente à ce cercle au point A de coordonnées (3;5). Cependant, je n'ai jamais étudié la tangente à un cercle dans un repère, seulement celle d'une courbe de formule T:y=f'(a)(x-a)+f(a) et lorsque j'applique cette dernière au cas présent je trouve T:y=f'(3)(x-3)+5 et bloque sur l'image de 3 par la dérivée... [après avoir trouvé f'(x)=2x+2y-2 je ne sais pas ce qu'il faut faire parce que remplacer par 3 et 5 me donne f'(3)=14 ce qui fait ensuite T:y=14x-37 et cela semble clairement faux sur le graphique]

Merci de m'aider le plus rapidement possible, sans abuser plus longtemps de votre précieuse attention,
Merci d'avance,
Charles.

Bonjour Charles,

Première question : Vous savez que a est une constante positive, il faut donc dériver V en fonction de R et étudier son signe avec a positif.

Deuxième question : Pour déterminer l'équation de la tangente au cercle au point A, il suffit de prendre M(x;y) un point de cette tangente, on a alors \(\vec{IA}.\vec{AM}=0\)
Ce produit scalaire vous permettra de déterminer l'équation cherchée.

Bonne continuation

Bonsoir,
Tout d'abord merci pour la rapidité avec laquelle vous m'avez répondu.

Pour la deuxième question, j'ai bien utilisé le produit scalaire indiqué je trouve alors 4(x-3)+3(y-5)=0 donc 4x-3y-27=0.
J'ai alors posé y=xé pour trouver 2 solutions de x puis en remplaçant, 2 solutions de y respectives.
Ainsi, je trouve 2 points M possibles avec des coordonnées assez complexes qui me perment de calculer le coefficient directeur de la tangente et son ordonnée à l'origine: je trouve au final T:y=-(4/3)x+9.
Sur le dessin, cette équation est très vraisemblable, cependant je me demandais s'il n'y avait de méthode plus simple que ce que j'ai développé en une page entière ? (en fait, j'ai peur de m'être perdu dans mes calculs et d'être passé à côté de la simplicité...) Enfin bon, passons, je crois avoir la solution (grâce à vous), c'est le principal.

Pour la première question, je me retrouve à un véritable mur! J'ai, en factorisant V(R)=R((a-2piR²)/2) ce qui me donne, en dérivant ensuite V'(R)= -2piR.
Ainsi, je peux dire que V'(R) est négative sur ]0,+infini[ et donc que V(R) est décroissante sur cet intervalle.
Mais il y a ensuite une dernière question que je n'avais pas vu qui demande le rapport h/R quand le volume est maximal. Or, dans mon tableau j'ai écrit que V(R) admet un maximum pour R=0, ce qui entre totalement en contradiction avec le bon sens...
Je vous prie de m'aider à nouveau en espérant ne pas trop vous gèner.

Bonsoir Charles,

Deuxième question : Vous avez l'équation de la tangente directement et dès la première ligne !

4(x-3)+3(y-5)=0 donc 4x-3y-27=0

Première question : pourquoi compliquer l'expression ? Ici, il y a une erreur ; si vous factorisez, il faut ensuite utiliser la formule "u.v=..." pour calculer la dérivée.
Sinon, on peut le faire directement à partir de l'expression de départ.

Je vous laisse corriger.

A bientôt

Merci encore pour votre aide, effectivement pour la deuxième question, l'équation de la tangente apparait directement...
Cependant pour la première, je ne trouve toujours pas de solution; je n'arrive pas à étudier le signe de V'(R)=(a/2)-3piR² qui semble être la bonne dérivée.
Comment faire pour y arriver ?
En espérant que ce soit ma dernière demande, a bientôt, Charles.

Bonsoir Charles,

Votre dérivée est juste. Il suffit d'étudier son signe sur \(]0;+\infty[\). Pour cela, recherchez les racines ; a étant une constante, il suffit de rechercher les valeurs de R pour lesquelles \(\frac{a}{2}-3\pi~R^2=0\).

A bientôt.

Pour commencer, bonsoir à vous.
Allez, je me lance:
Comme racine de la dérivée je trouve racine(a/6pi) [étant donné que R est strictement positif]
Ainsi, je dis que V'(R) est positive quand R est infèrieur à cette valeur en résolvant l'inéquation...
Je conclus que la fonction V est décroissante sur ]0;+infini[.

Maintenant je vais énoncer la question suivante: "Lorsque la boîte a un volume maximal, que vaut le rapport h/R ? [il fallait démontré avant que h=(a/2piR)-R].
D'après le tableau de signe, V est maximal pour R=racine(a/6pi)
Je calcule donc h/R pour R=racine(a/6pi) et je trouve k= (a*racine(6pi))/(3pi*racine(a)).
Cette expression parait vraiment compliquée et sans intérêt... pourriez vous m'éclairer s'il vous plaît (parce que je suis sûr d'avoir fais une erreur quelque part).
A bientôt, merci pour votre aide, Charles.

Pourquoi n'ai-je plus de réponse ? ...

Bonjour,

Plusieurs pistes pour ta dernière question :
- nous avons un métier (un vrai)
- nous avons une vie en dehors du forum
- la notion de temps est relative... Une journée pour obtenir une réponse sur un forum, ce n'est pas la fin des haricots.

Patience, tout vient à point à qui sait attendre.

Tu trouves \(V'(R)<0\) s.si \(R>\sqrt{\frac{a}{6\pi}}\).
Donc \(V\) est décroissante sur \(]\sqrt{\frac{a}{6\pi}};+\infty[\) (et pas à partir de 0 !)

V atteint donc son maximum là où tu le dis.

Sinon, pour l'instant, je n'ai pas le temps de me pencher sur la valeur de \(\frac{h}{R}\) mais celle que tu donnes, en attendant vérification, vaut \(\sqrt{\frac{2a}{3\pi}}\). Ce qui n'est pas si horrible que ça.

à bientôt (mais peut-être pas dans 5 minutes ;-)

:s , je suis désolé d'avoir été si impatient, mais en réalité j'ai eu peur que vous ayez cru que ma dernière réponse ne relançais pas le sujet... veuillez m'excuser sincèrement parce que ce n'était pas de l'énervement mais simplement de l'inquiétude et je comprend parfaitement que vous n'ayez pas que ça à faire, le temps que vous offrez sur le forum est déjà très généreux.
Merci pour votre réponse, prenez le temps qu'il faudra, merci d'avance et bonne journée.

Bonjour,
Après un tel message, vous êtes tout pardonné.
A bientôt sur Sos-Math.

Bonjour, je suis désolé de devoir écrire se message et je comprend sincérement que vous n'ayez pas que cela à faire, cependant je n'ai pas toute l'année pour finir ce devoir... aidez moi s'il vous plait, il ne reste plus qu'une seule question.
Merci à vous.

Bonjour Charles,

Je reprends le problème et ce n'est pas si simple de se retrouver dans la discussion. J'ai besoin d'aide : avez vous bien que \(h=\frac{a}{2\pi~R}-R\) et \(R=\sqrt{\frac{a}{6\pi}}\) ?

Si tel est le cas, faites les calculs en gardant dans un premier temps \(R\). Cela donne, sauf erreur, que \(\frac{h}{R}=\frac{a}{2\pi~R^2}-1\). Il ne reste plus qu'à remplacer \(R\) par son expression et à finir les calculs qui semblent bien se simplifier...

Bonne continuation.

Merci beaucoup =)
Juste pour vérifier, je trouve 2, c'est bon ?
Merci encore pour toute votre aide, je ne vous retiens pas plus longtemps, bravo à tous.

Le rapport \(\frac{h}{R}\) vaut en effet 2.

à bientôt sur sos-math.