SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un devoir et je suis totalement bloquée:

A-/ Démontrer les formules de la médiane:
Dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH:
AB.AC = AI^2 - 1/4 BC^2 ( J'ai démontré celle la)
valeur absolu ( AB^2-AC^2) = 2BC * IH

B-/ A et B sont deux points du plan tels que AB=6 cm

1) Soit f la fonction qui à tout point M du plan associe le nombre f(M)= MA^2 + MB^2
On note Fk la ligne de niveau k pour la fonction f, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan tels que f(M)=k.
(a) Montrer que f(M) est supérieur ou égal à 18. Que peut-on en déduire pour Fk lorsque k inférieur à 18

On sait que f(M)= MA^2 + MB^2
d'après le théorème des médianes
f(M)= 1/2 AB^2 + 2 MI^2 ou I est le milieu de AB
Mais je n'arrive pas a placer les points A et B sur un axe et à faire le lien entre le plan et le segement AB

(b) Déterminer F18 et la représenter

MA^2+MB^2= k
k= 1/2 AB^2 + 2MI^2
K= 1/2 * 36 + 2 MI^2
k = 18 + 2 MI^2

Je n'arrive pas a aller plus loins...

(c) Montrer F20 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Je pense que je dois montrer que MA^2 + MB^2 = (x − a)2 + (y − b)2 - r2
mais je n'y arrive pas...

(d) Déterminer et représenter F40
(e) Indiquer la nature des lignes de niveau k associées à f selon les valeurs de k.
(f) Indiquer les caractéristiques précises de ces lignes de niveaux

Je n'ai aucune idées comment faire les 3 dernières questions...

Merci beaucoup pour votre aide

Camille

Bonsoir Camille,

Pour la démonstration de la troisième formule de la médiane, utilises une identité remarquable pour le produit scalaire : \(AB^{2}-AC^{2}=\left ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right ).\left ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \right )\). Je te laisse voir pour ensuite simplifier.
Pour la partie B, comme tu l'as montré dans la question b, f(M) = 18 + 2MI² ce qui justifie f(M) supérieur ou égal à 18.
Pourquoi veux-tu placer A et B sur un axe ?
Pour la question b, F18 est l'ensemble des points M du plan qui vérifient f(M) = 18 autrement dit avec ton calcul : 18 + 2MI² = 18 ce qui donne 2MI² = 0...
Quel(s) point(s) vérifie(nt) cela ?
Pour la question c, F20 est l'ensemble des points M du plan qui vérifient f(M) = 20 autrement dit avec ton calcul : 18 + 2MI² = 20 ce qui donne 2MI² = 2, soit MI² = 1 autrement dit MI = 1
Quels points M sont à la distance de 1 du point I ?

Je te laisse reprendre ces questions et peut-être poursuivre avec ces indications ?...

SoSMath

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos indications qui m'ont beaucoup aidé,

Je dois Représenter F18, F 20 et F40 mais je suis obliger de placer A et B pour cela non?
Je voulais également vous demander ce que sont les caractéristiques d'une ligne de niveau?

Merci

Camille

Bonjour Camille,

Pour tracer tes lignes de niveaux, tu as besoin du triangle ABC, donc des points A et B.
Ta 2ème question est un peu plus dure .... en mathématiques c'est un ensemble de point M qui vérifie la condition f(M)= k (où est f est une fonction définie et k une constante).
Un exemple d'utilisation dans la vie courante est une carte topographique. C'est une carte d'un lieu (ville, région ,...) où l'on a ajouté des lignes qui correspondent aux points ayant la même altitude.

SoSMath.